Question

7．如圖，在矩形ABCD中，$AB=\sqrt{3}，BC=1$，將△ACD沿折起，使得D折起的位置為D₁，且D₁在平面ABC的射影恰好落在AB上，則直線D₁C與平面ABC所成角的正弦值為（　�。�

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{4}$

Answer 1

分析 設(shè)D₁在平面ABC的射影為O，求出D₁O=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，即可求出直線D₁C與平面ABC所成角的正弦值．

解答 解：設(shè)D₁在平面ABC的射影為O，
由題意，CB⊥平面D₁CB，∴CD⊥D₁B，
∵D₁C=$\sqrt{3}$，BC=1，
∴D₁B=$\sqrt{2}$，
∴$A{{D}_{1}}^{2}+B{{D}_{1}}^{2}$=AB²，
∴D₁B⊥D₁A，
由等面積可得D₁O•$\sqrt{3}$=1$•\sqrt{2}$，∴D₁O=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，
∴直線D₁C與平面ABC所成角的正弦值為$\frac{{D}_{1}O}{{D}_{1}C}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
故選：B．

點評 本題考查直線D₁C與平面ABC所成角的正弦值，考查學生的計算能力，正確求出D₁O=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$是關(guān)鍵．