Question

17．已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，且滿足${a_1}+{a_2}+{a_2}+…+{a_n}=\frac{{n{a_{n+1}}}}{2}$．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且${b_n}=\frac{1}{S_n}$，令T_n=b₁+b₂+…+b_n，求證：T_n＜2．

Answer 1

分析 （I）利用數(shù)列遞推關(guān)系、“累乘求積”即可得出．
（2）利用等差數(shù)列的求和公式、“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 （Ⅰ）解：設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，
由已知可得：${S_n}=\frac{{n{a_{n+1}}}}{2}$，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，即$\left.\begin{array}{l}2{S_n}=n{a_{n+1}}\\ \;2{S_{n-1}}=（n-1）{a_n}\end{array}\right\}$相減，
∴2a_n=na_n+1-（n-1）a_n，∴（n+1）a_n=na_n+1，
∴$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=\frac{n+1}{n}，且{a_2}=2{a_1}=2，\;\;∴\frac{a_2}{a_1}=\frac{2}{1}$，
$\left.\begin{array}{l}∴\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=\frac{n}{n-1}\\ \frac{{{a_{n-1}}}}{{{a_{n-2}}}}=\frac{n-1}{n-2}\\?\\ \frac{a_3}{a_2}=\frac{3}{2}\\ \frac{a_2}{a_1}=\frac{2}{1}\end{array}\right\}迭乘$∴$\frac{a_n}{a_1}=\frac{2}{1}\;•\;\frac{3}{2}\;•\;\frac{4}{3}\;•\;…\;•\;\frac{n-1}{n-2}\;•\;\frac{n}{n-1}=n$，
∴a_n=n．
（Ⅱ）證明：∵${S_n}=\frac{n（n+1）}{2}$，
∴${b_n}=\frac{2}{n（n+1）}=2（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）$，
∴${T_n}=2（{1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）$=$2（{1-\frac{1}{n+1}}）＜2$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、“累乘求積”、等差數(shù)列的求和公式、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．