Question

9．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的焦點在x軸上，橢圓E的左頂點為A，斜率為k（k＞0）的直線交橢圓E于A、B兩點，點C在橢圓E上，AB⊥AC，直線AC交y軸于點D
（Ⅰ）當(dāng)點B為橢圓的上頂點，△ABD的面積為2ab時，求橢圓的離心率；
（Ⅱ）當(dāng)b=$\sqrt{3}$，2|AB|=|AC|時，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出直線AB的方程為$y=\frac{a}x+b$，直線AC的方程為$y=-\frac{a}（x+a）$，利用三角形的面積，轉(zhuǎn)化求解離心率即可．
（Ⅱ）直線AB的方程為y=k（x+a），聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理以及弦長公式，通過2|AB|=|AC|，整理得，${a^2}=\frac{{6{k^2}-3k}}{{{k^3}-2}}$．然后求解k的范圍．

解答 （本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）直線AB的方程為$y=\frac{a}x+b$
直線AC的方程為$y=-\frac{a}（x+a）$，令x=0，$y=-\frac{a^2}$…（2分）
${S_{△ABD}}=\frac{1}{2}•（b+\frac{a^2}）•a=2ab$…（3分）
于是a²+b²=4b²，${a^2}=3{b^2}，e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$…（5分）
（Ⅱ）直線AB的方程為y=k（x+a），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{3}=1\\ y=k（{x+a}）\end{array}\right.$并整理得，（3+a²k²）x²+2a³k²x+a⁴k²-3a²=0
解得x=-a或$x=-\frac{{{a^3}{k^2}-3a}}{{3+{a^2}{k^2}}}$，…（7分）
$所以|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}|{-\frac{{{a^3}{k^2}-3a}}{{3+{a^2}{k^2}}}+a}|=\sqrt{1+{k^2}}•\frac{6a}{{3+{a^2}{k^2}}}$…（8分）
$同理|{AC}|=\sqrt{1+{k^2}}•\frac{6a}{{3k+\frac{a^2}{k}}}$…（9分）
因為2|AB|=|AC|$所以2•\sqrt{1+{k^2}}•\frac{6a}{{3+{a^2}{k^2}}}=\sqrt{1+{k^2}}•\frac{6a}{{3k+\frac{a^2}{k}}}$，
整理得，${a^2}=\frac{{6{k^2}-3k}}{{{k^3}-2}}$．…（11分）
因為橢圓E的焦點在x軸，所以a²＞3，即$\frac{{6{k^2}-3k}}{{{k^3}-2}}＞3$，…（13分）
整理得$\frac{{（{{k^2}+1}）（{k-2}）}}{{{k^3}-2}}＜0$，解得$\root{3}{2}＜k＜2$．…（14分）

點評 本題考查橢圓方程與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，直線的斜率的范圍的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．