Question

7．如圖，在三棱錐P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AP⊥BP，AC⊥BC，∠PAB=60°，∠ABC=45°，D是AB中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為PD，PC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AE⊥平面PCD；
（Ⅱ）求二面角B-PA-C的余弦值；
（Ⅲ）在棱PB上是否存在點(diǎn)M，使得CM∥平面AEF？若存在，求$\frac{PM}{PB}$的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出PD=AD，從而△PAD是等邊三角形，進(jìn)而AE⊥PD，再求出CD⊥AB，從而CD⊥平面PAB，進(jìn)而CD⊥AE，由此能證明AE⊥平面PCD．
（Ⅱ）以A為原點(diǎn)，作Ax∥DC，以AB所在直線(xiàn)為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角B-PA-C的余弦值．
（Ⅲ）在平面ABP中，延長(zhǎng)AE交BP為G，取BG中點(diǎn)M，推導(dǎo)出G為PM中點(diǎn)，此時(shí)，$\frac{PM}{PB}$=$\frac{2}{3}$從而DM∥平面AEF，推導(dǎo)出面CDM∥面AEF，從而得到CM∥面AEF．

解答 證明：（Ⅰ）∵AP⊥BP，D是AB中點(diǎn)，
∴PD=AD，
又∠PAB=60°，∴△PAD是等邊三角形，
又E為PD的中點(diǎn)，∴AE⊥PD，
∵AC⊥BC，∠ABC=45°，
又D是AB的中點(diǎn)，∴CD⊥AB，
∵平面PAB⊥平面ABC，又平面PAB∩平面ABC=AB，
∴CD⊥平面PAB，∵AE?平面PAB，∴CD⊥AE，
又CD∩PD=D，∴AE⊥平面PCD．
解：（Ⅱ）以A為原點(diǎn)，作Ax∥DC，以AB所在直線(xiàn)為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AB=2a，則A（0，0，0），B（0，2a，0），C（a，a，0），D（0，a，0），P（0，$\frac{a}{2}，\frac{\sqrt{3}a}{2}$），
∵CD⊥平面PAB，∴平面PAB的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{CD}$=（-a，0，0），
設(shè)平面PAC的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{n}=\frac{a}{2}y+\frac{\sqrt{3}}{2}az=0}\\{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{n}=ax+ay=0}\end{array}\right.$，令x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
設(shè)二面角B-PA-C的平面角為θ，
由圖知，二面角B-PA-C為銳角，
∴cosθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{CD}|}$=$\frac{a}{\sqrt{\frac{7}{3}}a}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
∴二面角B-PA-C的余弦值為$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
（Ⅲ）PB上存在M，使得CM∥平面AEF，此時(shí)$\frac{PM}{PB}=\frac{2}{3}$．
證明：在平面ABP中，延長(zhǎng)AE交BP為G，
取BG中點(diǎn)M，∵M(jìn)為BG中點(diǎn)，D為AB中點(diǎn)，
∴DM∥AG，又E為PD中點(diǎn)，∴G為PM中點(diǎn)，
此時(shí)，$\frac{PM}{PB}$=$\frac{2}{3}$，∴DM∥AE，
∵DM?面AEF，AE?面AEF，
∴DM∥平面AEF，
∵E，F(xiàn)分別是PD，PC的中點(diǎn)，
∴CD∥EF，CD?面AEF，EF?平面AEF，
∴CD∥平面AEF，CD∩DM=D，CD?面CDM，DM?面CDM，
∴面CDM∥面AEF，
∵CM?面CDM，∴CM∥面AEF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線(xiàn)面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查線(xiàn)滿(mǎn)足線(xiàn)面平行的點(diǎn)的確定與求法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查轉(zhuǎn)化化歸思想，是中檔題．