Question

10．如圖，已知矩形OABC中，OA=2，OC=1，OD=3，若P在△BCD中（包括邊界），且$\overrightarrow{OP}$=α$\overrightarrow{OC}$+$\frac{1}{2}$β$\overrightarrow{OA}$，則α+$\frac{3}{2}$β的最大值為（　�。�

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\frac{5}{2}$
• C． $\frac{9}{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 先建立以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)D所在直線為x軸的直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件求出點(diǎn)P的坐標(biāo)與α，β之間的關(guān)系，再根據(jù)點(diǎn)P的位置，借助于可行域即可求解．

解答 解：分別以邊OA，OC所在直線為x，y軸建立如圖所實(shí)施平面直角坐標(biāo)系；
∴$\overrightarrow{OC}$=（0，1），$\overrightarrow{OD}$=（3，0），設(shè)$\overrightarrow{OP}$=（x，y），
∵$\overrightarrow{OP}$=α$\overrightarrow{OC}$+$\frac{1}{2}$β$\overrightarrow{OA}$，
∴（x，y）=α（0，1）+$\frac{1}{2}$β（2，0）=（β，α），
∴x=β，y=α，
設(shè)z=α+$\frac{3}{2}$β=y+$\frac{3}{2}$x，
所以z是直線y=-$\frac{3}{2}$x+z在y軸上的截距；
由圖形可以看出，當(dāng)該直線經(jīng)過C（3，0）點(diǎn)時，它在y軸的截距z最大，最大為$\frac{9}{2}$；
∴α+$\frac{3}{2}$β的最大值是$\frac{9}{2}$．
故選：C

點(diǎn)評 本題考查通過建立平面直角坐標(biāo)系，用向量坐標(biāo)解決向量問題的方法，利用線性規(guī)劃求最值的方法．