Question

18．如圖，將一塊半徑為2的半圓形紙板切割成等腰梯形的形狀，下底AB是半圓的直徑，上底CD的端點在半圓上，則所得梯形的最大面積為3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 連接OD，過C，D分別作DE⊥AB于E，CF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)．設∠AOD=θ$（θ∈（0，\frac{π}{2}））$．OE=2cosθ，DE=2sinθ．可得CD=2OE=4cosθ，梯形ABCD的面積S=$\frac{1}{2}（4+4cosθ）×2sinθ$=4sinθ（1+cosθ），利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出．．

解答 解：連接OD，過C，D分別作DE⊥AB于E，CF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)．
設∠AOD=θ$（θ∈（0，\frac{π}{2}））$．
OE=2cosθ，DE=2sinθ．
可得CD=2OE=4cosθ，
∴梯形ABCD的面積S=$\frac{1}{2}（4+4cosθ）×2sinθ$
=4sinθ（1+cosθ），
S^′=4（cosθ+cos²θ-sin²θ）
=4（2cos²θ+cosθ-1）
=4（2cosθ-1）（cosθ+1）．
∵θ∈$（0，\frac{π}{2}）$，∴cosθ∈（0，1）．
∴當cosθ=$\frac{1}{2}$即θ=$\frac{π}{3}$時，S取得最大值，S=3$\sqrt{3}$．
故最大值為：3$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了換元法、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、梯形面積、三角函數(shù)基本關系式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．