3.如圖,在△ABC中,B=$\frac{π}{4}$,點D在邊AB上,BD=2,且DA=DC,AC=2$\sqrt{2}$,則∠DCA=$\frac{π}{12}$或$\frac{5π}{12}$或$\frac{π}{4}$

分析 設(shè)∠DCA=θ,DC=x,根據(jù)余弦定理和正弦定理可得cos2θ(2sin2θ-1)=0,再解得即可

解答 解:設(shè)∠DCA=θ,DC=x,
在△BDC中,由余弦定理可得AC2=x2+x2-2x2cos(2π-2θ),
即4=x2(1+cos2θ),
∴x2=$\frac{4}{1+cos2θ}$
在△BCD中,∠DCB=π-B-∠BDC=$\frac{3π}{4}$-2θ,
由正弦定理可得$\frac{BD}{sin∠BDC}$=$\frac{CD}{sinB}$,
即x=$\frac{2×\frac{\sqrt{2}}{2}}{sin(\frac{3π}{4}-2θ)}$=$\frac{2}{cos2θ+sin2θ}$,
∴x2=$\frac{4}{1+2sin2θcos2θ}$,
∴$\frac{4}{1+cos2θ}$=$\frac{4}{1+2sin2θcos2θ}$,
∴1+cos2θ=1+2sin2θcos2θ,
∴cos2θ(2sin2θ-1)=0,
∴cos2θ=0或2sin2θ-1=0,
解得2θ=$\frac{π}{2}$或2θ=$\frac{π}{6}$或2θ=$\frac{5π}{6}$
∴θ=$\frac{π}{4}$或θ=$\frac{π}{12}$或θ=$\frac{5π}{12}$,
故答案為:$\frac{π}{12}$或$\frac{π}{4}$或$\frac{5π}{12}$

點評 本題考查了正弦定理和余弦定理以及三角函數(shù)的化簡,考查了學(xué)生的運算能力,屬于中檔題

練習(xí)冊系列答案
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5.在△ABC中,D為BC的中點,∠BAD+∠C≥90°.
(Ⅰ)求證:sin2C≤sin2B;
(Ⅱ)若cos∠BAD=-$\frac{1}{4}$,AB=2,AD=3,求AC.

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6.已知F1、F2是橢圓C1與雙曲線C2的公共焦點,點P是C1與C2的公共點,若橢圓C1的離心率e1∈($\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\frac{\sqrt{3}}{2}$],∠F1PF2=$\frac{π}{2}$,則雙曲線C2的離心率e2的最小值為(  )
A.$\frac{\sqrt{5}}{2}$B.$\frac{\sqrt{6}}{2}$C.$\sqrt{2}$D.$\sqrt{3}$

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11.在正項等比數(shù)列{an}和正項等差數(shù)列{bn}中,已知a1,a2017的等比中項與b1,b2017的等差中項相等,且$\frac{1}{_{1}}$+$\frac{4}{_{2017}}$≤1,當(dāng)a1009取得最小值時,等差數(shù)列{bn}的公差d的取值集合為( 。
A.{d|d≥$\frac{1}{672}$}B.{d|0<d<$\frac{1}{672}$}C.{$\frac{1}{672}$}D.{d|d≥$\frac{3}{2017}$}

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18.如圖,將一塊半徑為2的半圓形紙板切割成等腰梯形的形狀,下底AB是半圓的直徑,上底CD的端點在半圓上,則所得梯形的最大面積為3$\sqrt{3}$.

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8.已知函數(shù)f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{(\frac{1}{2})^{x},x>0}\\{-{x}^{2}-4x,x≤0}\end{array}\right.$則此函數(shù)圖象上關(guān)于原點對稱的點有( 。
A.0對B.1對C.2對D.3對

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15.已知m∈R,若點M(x,y)為直線l1:my=-x和l2:mx=y+m-3的交點,l1和l2分別過定點A和B,則|MA|•|MB|的最大值為5.

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12.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>b>c),且f(1)=0,若函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)圖象與函數(shù)f(x)的圖象交于A,B兩點,C,D是點A,B在x軸上的投影,則線段|CD|長的取值范圍為($\sqrt{5}$,+∞).

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13.已知函數(shù)f(x)=$\frac{x}{{e}^{x}}$.
(Ⅰ)若方程f(x)=m有兩個不等實根,試求實數(shù)m的取值范圍;
(Ⅱ)若f(x1)=f(x2)且x1<x2,求證:2x1+3x2>5.

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