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3.如圖,在△ABC中,B=π4,點(diǎn)D在邊AB上,BD=2,且DA=DC,AC=2\sqrt{2},則∠DCA=\frac{π}{12}\frac{5π}{12}\frac{π}{4}

分析 設(shè)∠DCA=θ,DC=x,根據(jù)余弦定理和正弦定理可得cos2θ(2sin2θ-1)=0,再解得即可

解答 解:設(shè)∠DCA=θ,DC=x,
在△BDC中,由余弦定理可得AC2=x2+x2-2x2cos(2π-2θ),
即4=x2(1+cos2θ),
∴x2=\frac{4}{1+cos2θ}
在△BCD中,∠DCB=π-B-∠BDC=\frac{3π}{4}-2θ,
由正弦定理可得\frac{BD}{sin∠BDC}=\frac{CD}{sinB},
即x=\frac{2×\frac{\sqrt{2}}{2}}{sin(\frac{3π}{4}-2θ)}=\frac{2}{cos2θ+sin2θ},
∴x2=\frac{4}{1+2sin2θcos2θ},
\frac{4}{1+cos2θ}=\frac{4}{1+2sin2θcos2θ}
∴1+cos2θ=1+2sin2θcos2θ,
∴cos2θ(2sin2θ-1)=0,
∴cos2θ=0或2sin2θ-1=0,
解得2θ=\frac{π}{2}或2θ=\frac{π}{6}或2θ=\frac{5π}{6}
∴θ=\frac{π}{4}或θ=\frac{π}{12}或θ=\frac{5π}{12},
故答案為:\frac{π}{12}\frac{π}{4}\frac{5π}{12}

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理和余弦定理以及三角函數(shù)的化簡(jiǎn),考查了學(xué)生的運(yùn)算能力,屬于中檔題

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

5.在△ABC中,D為BC的中點(diǎn),∠BAD+∠C≥90°.
(Ⅰ)求證:sin2C≤sin2B;
(Ⅱ)若cos∠BAD=-\frac{1}{4},AB=2,AD=3,求AC.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

6.已知F1、F2是橢圓C1與雙曲線C2的公共焦點(diǎn),點(diǎn)P是C1與C2的公共點(diǎn),若橢圓C1的離心率e1∈(\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{3}}{2}],∠F1PF2=\frac{π}{2},則雙曲線C2的離心率e2的最小值為(  )
A.\frac{\sqrt{5}}{2}B.\frac{\sqrt{6}}{2}C.\sqrt{2}D.\sqrt{3}

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

11.在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}和正項(xiàng)等差數(shù)列{bn}中,已知a1,a2017的等比中項(xiàng)與b1,b2017的等差中項(xiàng)相等,且\frac{1}{_{1}}+\frac{4}{_{2017}}≤1,當(dāng)a1009取得最小值時(shí),等差數(shù)列{bn}的公差d的取值集合為( �。�
A.{d|d≥\frac{1}{672}}B.{d|0<d<\frac{1}{672}}C.{\frac{1}{672}}D.{d|d≥\frac{3}{2017}}

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

18.如圖,將一塊半徑為2的半圓形紙板切割成等腰梯形的形狀,下底AB是半圓的直徑,上底CD的端點(diǎn)在半圓上,則所得梯形的最大面積為3\sqrt{3}

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

8.已知函數(shù)f(x)=\left\{\begin{array}{l}{(\frac{1}{2})^{x},x>0}\\{-{x}^{2}-4x,x≤0}\end{array}\right.則此函數(shù)圖象上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)有( �。�
A.0對(duì)B.1對(duì)C.2對(duì)D.3對(duì)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

15.已知m∈R,若點(diǎn)M(x,y)為直線l1:my=-x和l2:mx=y+m-3的交點(diǎn),l1和l2分別過(guò)定點(diǎn)A和B,則|MA|•|MB|的最大值為5.

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12.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>b>c),且f(1)=0,若函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)圖象與函數(shù)f(x)的圖象交于A,B兩點(diǎn),C,D是點(diǎn)A,B在x軸上的投影,則線段|CD|長(zhǎng)的取值范圍為(\sqrt{5},+∞).

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13.已知函數(shù)f(x)=\frac{x}{{e}^{x}}
(Ⅰ)若方程f(x)=m有兩個(gè)不等實(shí)根,試求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(Ⅱ)若f(x1)=f(x2)且x1<x2,求證:2x1+3x2>5.

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