Question

5．在△ABC中，D為BC的中點，∠BAD+∠C≥90°．
（Ⅰ）求證：sin2C≤sin2B；
（Ⅱ）若cos∠BAD=-$\frac{1}{4}$，AB=2，AD=3，求AC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）∠BAD=α，∠CAD=β，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)得到sinα≥cosC，sinβ≤cosB，再根據(jù)三角形面積公式可得csinα=b•sinβ，即可得到ccosC≤bcosB
再根據(jù)正弦定理和二倍角公式即可求出，
（Ⅱ）根據(jù)余弦定理和夾角公式即可求出．

解答 解：（Ⅰ）證明：令∠BAD=α，∠CAD=β，
∵∠BAD+∠C≥90，
∴α≥90°-C，β≤90°-B，
∴sinα≥sin（90°-C）=cosC，sinβ≤sin（90°-B）=cosB，
∵D為BC的中點，
∴S_△ABD=S_△ACD，
∴$\frac{1}{2}$c•ADsinα=$\frac{1}{2}$b•ADsinβ，
∴csinα=b•sinβ，
∴ccosC≤bcosB
∴sinCcosC≤sinBcosB
∴sin2C≤sin2B；
（Ⅱ）在△ABD中，BD²=AB²+AD²-2AD•AB•cos∠BAD=4+9-12×（-$\frac{1}{4}$）=16，
∴BD=4，
∴cos∠ADB=$\frac{A{D}^{2}+B{D}^{2}-A{B}^{2}}{2AD•BD}$=$\frac{7}{8}$，
在△ADC中，CD=BD=4，cos∠ADC=-cos∠ADB=-$\frac{7}{8}$，
∴AC²=9+16-2×3×4×（-$\frac{7}{8}$）=46，
∴AC=$\sqrt{46}$．

點評 本題考查了正弦定理和余弦定理和和正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及三角形的面積公式，考查了學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．