Question

2．已知函數(shù)f（x）=e^x-x
（1）求曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（2）當x＞0，f（2x）-4bf（x）＞f（-2x）-4bf（-x）恒成立，求b的最大值；
（3）解關于x的不等式：$\left\{\begin{array}{l}f（x）≤f（1）\\ f（-x）≤f（1）\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 （1）求出原函數(shù)的導函數(shù)，得到f′（1），再求出f（1），代入直線方程的點斜式得答案；
（2）構造函數(shù)g（x）=f（2x）-4bf（x）-f（-2x）+4bf（-x），驗證g（0）=0，只需說明g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)即可，從而問題轉化為“判斷g'（x）＞0是否成立”的問題，進一步轉化為關于b的不等式求解；
（3）求出函數(shù)f（x）=e^x-x在（-∞，0）單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，結合f（-1）＜f（1）及函數(shù)的對稱性可得不等式$\left\{\begin{array}{l}f（x）≤f（1）\\ f（-x）≤f（1）\end{array}\right.$的解集．

解答 解：（1）∵f（x）=e^x-x，∴f′（x）=e^x-1，
則f′（1）=e-1，又f（1）=e-1，
∴曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y-e+1=（e-1）（x-1），即（e-1）x-y=0；
（2）令g（x）=f（2x）-4bf（x）-f（-2x）+4bf（-x）
=e^2x-2x-4b（e^x-x）-（e^-2x+2x）+4b（e^-x+x）
=e^2x-e^-2x-4b（e^x-e^-x）+（8b-4）x，
則g'（x）=2[e^2x+e^-2x-2b（e^x+e^-x）+（4b-2）]
=2[（e^x+e^-x）²-2b（e^x+e^-x）+（4b-4）]
=2（e^x+e^-x-2）（e^x+e^-x-2b+2）．
①∵e^x+e^-x≥2，e^x+e^-x+2≥4，
∴當2b≤4，即b≤2時，g'（x）≥0，當且僅當x=0時取等號，
從而g（x）在R上為增函數(shù)，而g（0）=0，
∴x＞0時，g（x）＞0，符合題意．
②當b＞2時，若x滿足2＜e^x+e^-x＜2b-2，即0＜x＜ln（b-1+$\sqrt{^{2}-2b}$）時，g'（x）＜0，
又由g（0）=0知，當0＜x≤ln（b-1+$\sqrt{^{2}-2b}$）時，g（x）＜0，不符合題意．
綜合①、②知，b≤2，得b的最大值為2；
（3）∵f（x）=e^x-x，∴f′（x）=e^x-1，
則x∈（-∞，0）時，f′（x）＜0，x∈（0，+∞）時，f′（x）＞0，
∴f（x）在（-∞，0）單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
又∵f（x）與f（-x）關于y軸對稱．
f（-1）=e^-1+1=$\frac{1}{e}$+1＜e-1=f（1），
且由對稱性知，-1≤x≤1．
∴不等式：$\left\{\begin{array}{l}f（x）≤f（1）\\ f（-x）≤f（1）\end{array}\right.$的解集為[-1，1]．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間和求極值、最值，考查分類討論的思想方法和運算求解能力，屬于壓軸題．