Question

18．已知$f（x）=alnx+\frac{1}{3}{x^3}$，若對任意兩個不等的正實數x₁、x₂都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞3$恒成立，則實數a的取值范圍是（　　）

• A． [2，+∞）
• B． （2，+∞）
• C． （0，2）
• D． （0，2]

Answer 1

分析 依題意知，f′（x）=$\frac{a}{x}$+x²≥3（x＞0）恒成立，判斷a 的符號，利用基本不等式求解最小值，然后推出a的范圍即可．

解答 解：∵f（x）=alnx+$\frac{1}{3}$x³（a＞0），對任意兩個不等的正實數x₁、x₂都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞3$恒成立，
∴f′（x）=$\frac{a}{x}$+x²≥3（x＞0）恒成立，可知a＞0．
不等式化為：$\frac{a}{2x}+\frac{a}{2x}+{x}^{2}$≥3，
可得$3\root{3}{\frac{a}{2x}•\frac{a}{2x}•{x}^{2}}$≥3，當且僅當a=2x³，時取等號．
即a²≥4，解得a≥2．
即a的取值范圍是[2，+∞）．
故選：A．

點評 本題考查函數恒成立問題，考查基本不等式在最值中的應用，考查轉化思想．