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9.如圖,在⊙O的直徑AB的延長線上取點(diǎn)P,作⊙O的切線PN,N為切點(diǎn),在AB上找一點(diǎn)M,使PN=PM,連接NM并延長交⊙O于點(diǎn)C.
(1)求證:OC⊥AB;
(2)若⊙O的半徑為23,OM=MP,求MN的長.

分析 (1)連接ON,運(yùn)用圓的切線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì),由垂直的判定即可得證;
(2)運(yùn)用直角三角形的勾股定理和圓的相交弦定理,計算即可得到所求值.

解答 解:(1)證明:連接ON,則ON⊥PN,且△OCN為等腰三角形,
則∠OCN=∠ONC,∵PN=PM,
∴∠PMN=∠PNM,∵∠OCM+∠OMC=∠ONC+∠PNM=90°,
∴∠COM=90°,∴OC⊥AB.
(2)在Rt△ONP中,由于OM=MP,
∴OP2=PN2+ON2,∴2PM2=PN2+232
∴4PN2=PN2+12,∴PN=2,從而OP=22+232=4
OM=2BM=OBOM=232AM=OA+OM=23+2,
由相交弦定理可得MN•CM=BM•AM,又CM=232+22=4,
MN=BMAMCM=23223+24=2

點(diǎn)評 本題主要考查圓的切線性質(zhì)和圓的相交弦定理,及勾股定理的運(yùn)用,考查推理和運(yùn)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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