Question

9．如圖，在⊙O的直徑AB的延長線上取點P，作⊙O的切線PN，N為切點，在AB上找一點M，使PN=PM，連接NM并延長交⊙O于點C．
（1）求證：OC⊥AB；
（2）若⊙O的半徑為$2\sqrt{3}$，OM=MP，求MN的長．

Answer 1

分析 （1）連接ON，運用圓的切線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，由垂直的判定即可得證；
（2）運用直角三角形的勾股定理和圓的相交弦定理，計算即可得到所求值．

解答 解：（1）證明：連接ON，則ON⊥PN，且△OCN為等腰三角形，
則∠OCN=∠ONC，∵PN=PM，
∴∠PMN=∠PNM，∵∠OCM+∠OMC=∠ONC+∠PNM=90°，
∴∠COM=90°，∴OC⊥AB．
（2）在Rt△ONP中，由于OM=MP，
∴OP²=PN²+ON²，∴${（2PM）^2}=P{N^2}+{（2\sqrt{3}）^2}$，
∴4PN²=PN²+12，∴PN=2，從而$OP=\sqrt{{2^2}+{{（2\sqrt{3}）}^2}}=4$，
∴$OM=2，BM=OB-OM=2\sqrt{3}-2，AM=OA+OM=2\sqrt{3}+2$，
由相交弦定理可得MN•CM=BM•AM，又$CM=\sqrt{（2\sqrt{3}{）^2}+{2^2}}=4$，
∴$MN=\frac{BM•AM}{CM}=\frac{{（2\sqrt{3}-2）（2\sqrt{3}+2）}}{4}=2$．

點評 本題主要考查圓的切線性質(zhì)和圓的相交弦定理，及勾股定理的運用，考查推理和運算能力，屬于中檔題．