Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=2t-3（t∈R且t≠±1），a_n+1=

2(tn+1-1)(an+1)

an+2tn-1

（n∈N^*）
（Ⅰ）證明數(shù)列{

tn-1

an+1

}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=n²（a_n+1），求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n；
（Ⅲ）若t＞0，證明數(shù)列{a_n}為單調遞增數(shù)列．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列的函數(shù)特性

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知得

an+1+1

tn+1-1

=

2(an+1)

an+2tn-1

=

2(an+1) tn-1

an+1 tn-1 +2

，由此能證明數(shù)列{

tn-1

an+1

}是首項為

1

2

，公差為

1

2

的等差數(shù)列，從而求出a_n=

2tn-n-2

n

．
（Ⅱ）bn=n2(an+1)=2n(tn-1)=2ntn-2n，若t=0，則數(shù)列{b_n}的前n項和S_n=-n（n+1）；若t≠0，t≠±1，記數(shù)列{ntⁿ}的前n 項和 為T_n，Tn=t+2t2+3t3+…+ntn，由錯位相減法能求出數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．
（III）t＞0，能推導出a_n+1-a_n＞0，由此能證明數(shù)列{a_n}為單調遞增數(shù)列．

解答： 解：（Ⅰ）∵數(shù)列{a_n}滿足：a₁=2t-3（t∈R且t≠±1），
a_n+1=

2(tn+1-1)(an+1)

an+2tn-1

（n∈N^*），
∴

an+1+1

tn+1-1

=

2(an+1)

an+2tn-1

=

2(an+1) tn-1

an+1 tn-1 +2

，…（2分）
記bn=

an+1

tn-1

，則bn+1=

2bn

bn+2

，b1=

a1+1

t-1

=

2t-2

t-1

=2，…（3分）
又

1

bn+1

=

1

bn

+

1

2

，

1

b1

=

1

2

，
∴數(shù)列{

tn-1

an+1

}是首項為

1

2

，公差為

1

2

的等差數(shù)列．…（4分）
∴

tn-1

an+1

=

1

2

n，
∴a_n=

2tn-n-2

n

．…（5分）
（Ⅱ）bn=n2(an+1)=2n(tn-1)=2ntn-2n，…（6分）
若t=0，則數(shù)列{b_n}的前n項和S_n=-n（n+1），…（7分）
若t≠0，t≠±1，記數(shù)列{ntⁿ}的前n 項和 為T_n，
則Tn=t+2t2+3t3+…+ntn，
由錯位相減得Tn=

t(1-tn)

(1-t)2

-

ntn+1

1-t

，
從而Sn=

2t(1-tn)

(1-t)2

-

2ntn+1

1-t

-n(n+1)．…（10分）
（III）an+1-an=

2(tn+1-1)

n+1

-

2(tn-1)

n

=

2(t-1)

n(n+1)

[n(1+t+…+tn-1+tn)-(n+1)(1+t+…+tn-1)]
=

2(t-1)

n(n+1)

[ntn-(1+t+…+tn-1)]=

2(t-1)

n(n+1)

[(tn-1)+(tn-t)+…+(tn-tn-1)]
…（12分）
（1）若0＜t＜1，則t-1＜0，tⁿ-tⁱ＜0（i=0，1，…，n-1），從而a_n+1-a_n＞0； …（13分）
（2）若t＞1，則t-1＞0，tⁿ-tⁱ＞0（i=0，1，…，n-1），從而a_n+1-a_n＞0．
綜上知，對任意t＞0，t≠1，數(shù)列{a_n}均為遞增數(shù)列．…（14分）

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，考查數(shù)列是單調遞增數(shù)列的證明，解題時要認真審題，注意作差法的合理運用．