Question

4．已知x，y∈R，（　　）

• A． 若|x-y²|+|x²+y|≤1，則${（x+\frac{1}{2}）^2}+{（y-\frac{1}{2}）^2}≤\frac{3}{2}$
• B． 若|x-y²|+|x²-y|≤1，則${（x-\frac{1}{2}）^2}+{（y-\frac{1}{2}）^2}≤\frac{3}{2}$
• C． 若|x+y²|+|x²-y|≤1，則${（x+\frac{1}{2}）^2}+{（y+\frac{1}{2}）^2}≤\frac{3}{2}$
• D． 若|x+y²|+|x²+y|≤1，則${（x-\frac{1}{2}）^2}+{（y+\frac{1}{2}）^2}≤\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 利用絕對值不等式的性質(zhì)，得出（x²-y）+（y²-x）≤|x²-y|+|y²-x|=|x-y²|+|x²-y|≤1，即得${（x-\frac{1}{2}）^2}+{（y-\frac{1}{2}）^2}≤\frac{3}{2}$，判斷B正確．

解答 解：對于A，|x-y²|+|x²+y|≤1，
由${（x+\frac{1}{2}）^2}+{（y-\frac{1}{2}）^2}≤\frac{3}{2}$化簡得x²+x+y²-y≤1，二者沒有對應(yīng)關(guān)系；
對于B，由（x²-y）+（y²-x）≤|x²-y|+|y²-x|=|x-y²|+|x²-y|≤1，
∴x²-x+y²-y≤1，即${（x-\frac{1}{2}）^2}+{（y-\frac{1}{2}）^2}≤\frac{3}{2}$，命題成立；
對于C，|x+y²|+|x²-y|≤1，
由${（x+\frac{1}{2}）^2}+{（y+\frac{1}{2}）^2}≤\frac{3}{2}$化簡得x²+x+y²+y≤1，二者沒有對應(yīng)關(guān)系；
對于D，|x+y²|+|x²+y|≤1，
化簡${（x-\frac{1}{2}）^2}+{（y+\frac{1}{2}）^2}≤\frac{3}{2}$得x²-x+y²+y≤1，二者沒有對應(yīng)關(guān)系．
故選：B．

點評 本題考查了絕對值不等式的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．