Question

7．在等差數(shù)列{a_n}中，a₁=-2，a₁₂=20．
（Ⅰ）求通項a_n；
（Ⅱ）若${b_n}=\frac{{{a_1}+{a_2}+…{a_n}}}{n}$，求數(shù)列$\left\{{{3^{b_n}}}\right\}$的前n項和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式即可求出公差d，寫出通項公式即可，
（Ⅱ）先根據(jù)等差數(shù)列的求和公式化簡b_n，再判斷數(shù)列$\left\{{{3^{b_n}}}\right\}$為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式計算即可．

解答 解：（Ⅰ）因為 a_n=-2+（n-1）d，
所以 a₁₂=-2+11d=20．
于是 d=2，
所以 a_n=2n-4．
（Ⅱ）因為a_n=2n-4，
所以 ${a_1}+{a_2}+…+{a_n}=\frac{n（2n-6）}{2}=n（n-3）$．
于是 ${b_n}=\frac{{{a_1}+{a_2}+…{a_n}}}{n}=n-3$，
令 ${c_n}={3^{b_n}}$，則 ${c_n}={3^{n-3}}$．
顯然數(shù)列{c_n}是等比數(shù)列，且${c_1}={3^{-2}}$，公比q=3，
所以數(shù)列$\left\{{{3^{b_n}}}\right\}$的前n項和${S_n}=\frac{{{c_1}（1-{q^n}）}}{1-q}=\frac{{{3^n}-1}}{18}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義和求和公式，考查了學(xué)生的運算能力，屬于基礎(chǔ)題