Question

18．已知點E（-2，0），點P時圓F：（x-2）²+y²=36上任意一點，線段EP的垂直平分線交FP于點M，點M的軌跡記為曲線C．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）過F的直線交曲線C于不同的A、B兩點，交y軸于點N，已知$\overrightarrow{NA}$=m$\overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{NB}$=n$\overrightarrow{BF}$，求m+n的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出|ME|+|MF|=6＞|EF|=4，判斷點M的軌跡是以點E，F(xiàn)為焦點，長軸為6，焦距為4的橢圓，
然后求解方程．
（Ⅱ）求出F（2，0），若直線AB恰好過原點，計算m+n的值即可；
若直線AB不過原點，設(shè)直線AB：x=ty+2，t≠0，求出相關(guān)點的坐標與向量，表示出+n，聯(lián)立直線與橢圓方程的方程組，利用韋達定理，轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：（Ⅰ）由題意知，|ME|+|MF|=|MP|+|MF|=r=6＞|EF|=4，
故由橢圓定義知，點M的軌跡是以點E，F(xiàn)為焦點，長軸為6，焦距為4的橢圓，從而長半軸長為a=3，短半軸長為b=$\sqrt{{3}^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴曲線C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$．  …（4分）
（Ⅱ）由題知F（2，0），
若直線AB恰好過原點，則A（-3，0），B（3，0），N（0，0），
∴$\overrightarrow{NA}$=（-3，0），$\overrightarrow{AF}$=（5，0），則m=$-\frac{3}{5}$，
$\overrightarrow{NB}$=（3，0），$\overrightarrow{BF}$=（-1，0），則n=-3，
∴m+n=$-\frac{18}{5}$．    …（2分）
若直線AB不過原點，設(shè)直線AB：x=ty+2，t≠0，
A（ty₁+2，y₁），B（ty₂+2，y₂），N（0，-$\frac{2}{t}$）．
則$\overrightarrow{NA}$=（ty₁+2，y₁+$\frac{2}{t}$），$\overrightarrow{AF}$=（-ty₁，-y₁），
$\overrightarrow{NB}$=（ty₂+2，y₂+$\frac{2}{t}$），$\overrightarrow{BF}$=（-ty₂，-y₂），
由$\overrightarrow{NA}=m\overrightarrow{AF}$，得y₁+$\frac{2}{t}$=m（-y₁），從而m=$-1-\frac{2}{t{y}_{1}}$；
由$\overrightarrow{NB}=n\overrightarrow{BF}$，得y₂+$\frac{2}{t}$=n（-y₂），從而n=$-1-\frac{2}{t{y}_{2}}$；
故m+n=$-1-\frac{2}{t{y}_{1}}$+（$-1-\frac{2}{t{y}_{2}}$）=$-2-\frac{2}{t}（\frac{1}{{y}_{1}}+\frac{1}{{y}_{2}}）$=-2-$\frac{2}{t}×\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{y}_{1}{y}_{2}}$．  …（8分）
聯(lián)立方程組得：$\left\{\begin{array}{l}{x=ty+2}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}=1}\end{array}\right.$，整理得（5t²+9）y²+20ty-25=0，
∴y₁+y₂=-$\frac{20t}{5{t}^{2}+9}$，y₁y₂=$-\frac{25}{5{t}^{2}+9}$，
∴m+n=-2-$\frac{2}{t}×\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{y}_{1}{y}_{2}}$═$-2-\frac{2}{t}×\frac{20t}{25}$=-2-$\frac{8}{5}$=$-\frac{18}{5}$．
綜上所述，m+n=$-\frac{18}{5}$．…（12分）

點評 本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．