Question

8．設(shè)等差數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為S_n，且滿足a₂=2，S₅=15；等比數(shù)列{b_n}滿足b₂=4，b₅=32．
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，等比數(shù)列{b_n}的公比為q，運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，得到方程組，解方程可得首項(xiàng)和公差、公比，即可得到所求通項(xiàng)公式；
（2）求得a_nb_n=n•2ⁿ，運(yùn)用數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡(jiǎn)整理即可得到所求和．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
a₂=2，S₅=15，可得a₁+d=2，5a₁+$\frac{5×4}{2}$d=15，
解得a₁=d=1，
則a_n=1+（n-1）=n；
設(shè)等比數(shù)列{b_n}的公比為q，
由b₂=4，b₅=32，可得b₁q=4，b₁q⁴=32，
解得b₁=q=2，
可得b_n=b₁q^n-1=2ⁿ；
（2）a_nb_n=n•2ⁿ，
前n項(xiàng)和T_n=1•2+2•2²+…+n•2ⁿ，
2T_n=1•2²+2•2³+…+n•2ⁿ⁺¹，
相減可得，-T_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹，
化簡(jiǎn)可得，T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．