分析 (1)由題意可得關(guān)于a,b的方程組,求出a,b的值,可得函數(shù)解析式,再求出導(dǎo)函數(shù),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)求原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求出函數(shù)g(x)=$\frac{f(x)+1}{x}$的解析式,由g(x1)=g(x2),可得$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}=ln\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$>0.把證明x1+x2>2轉(zhuǎn)化為證$({x}_{1}+{x}_{2})•\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}>2ln\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$,即證$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}-\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$>$2ln\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$,令$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}=t$(t>1),則要證t-$\frac{1}{t}$>2lnt(t>1).構(gòu)造函數(shù)h(t)=t-$\frac{1}{t}-2lnt$,利用導(dǎo)數(shù)證明得答案.
解答 解:(1)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=a(1+lnx),
∵曲線在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y=x-1,
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′(1)=a=1}\\{f(1)=aln1+b=0}\end{array}\right.$,解得a=1,b=0.
令f′(x)=1+lnx=0,得x=$\frac{1}{e}$.
當(dāng)x>$\frac{1}{e}$時(shí),f′(x)>0,f(x)在($\frac{1}{e},+∞$)上單調(diào)遞增;
當(dāng)0<x<$\frac{1}{e}$時(shí),f′(x)<0,f(x)在(0,$\frac{1}{e}$)上單調(diào)遞減.
∴f(x)單調(diào)遞減區(qū)間為(0,$\frac{1}{e}$),單調(diào)遞增區(qū)間為($\frac{1}{e}$,+∞);
(2)證明:由(1)得:f(x)=xlnx,
故g(x)=$\frac{f(x)+1}{x}=lnx+\frac{1}{x}$,(x>0),
由g(x1)=g(x2)(x1<x2),
得$ln{x}_{1}+\frac{1}{{x}_{1}}=ln{x}_{2}+\frac{1}{{x}_{2}}$,即$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}=ln\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$>0.
要證x1+x2>2,需證$({x}_{1}+{x}_{2})•\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}>2ln\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$,
即證$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}-\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$>$2ln\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$.
設(shè)$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}=t$(t>1),則要證t-$\frac{1}{t}$>2lnt(t>1).
令h(t)=t-$\frac{1}{t}-2lnt$,
則h′(t)=1+$\frac{1}{{t}^{2}}-\frac{2}{t}$=$(1-\frac{1}{t})^{2}>0$.
∴h(t)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,則h(t)>h(1)=0,
即t-$\frac{1}{t}>2lnt$.
故x1+x2>2.
點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程,考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,難點(diǎn)是函數(shù)的構(gòu)造,難度較大.
年級(jí) | 高中課程 | 年級(jí) | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2016-2017學(xué)年重慶市高一上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
下調(diào)查方式中,不合適的是( )
A.浙江衛(wèi)視“奔跑吧兄弟”綜藝節(jié)目的收視率,采用抽查的方式
B.了解某漁場中青魚的平均重量,采用抽查的方式
C.了解iphone6s手機(jī)的使用壽命,采用普查的方式
D.了解一批汽車的剎車性能,采用普查的方式
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 5 | B. | 4 | C. | 3 | D. | 2 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 充分不必要條件 | B. | 必要不充分條件 | ||
C. | 充要條件 | D. | 既不充分也不必要條件 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 2 | B. | 3 | C. | 4 | D. | 5 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
查看答案和解析>>
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com