Question

11．下列命題錯誤的是（　�。�

• A． 存在正數(shù)x₀，當(dāng)x＞x₀時，2^x＞x³
• B． 存在正數(shù)x₀，當(dāng)x＞x₀時，x＞lnx
• C． ?x＞2，2^x＞x²
• D． ?x＞2，x³＞$\sqrt{x}$

Answer 1

分析 A．作出兩個函數(shù)的圖象，進行判斷即可．
B．構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值，
C．當(dāng)x=4時，不等式不成立，
D．求出不等式的等價條件進行判斷．

解答 解：A．作出兩個函數(shù)y=2^x，y=x³的圖象，由圖象知存在正數(shù)x₀=20，當(dāng)x＞20時，2^x＞x³成立，故A正確，
B．設(shè)f（x）=x-lnx，則f′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$，
由f′（x）＞0得x＞1，由f′（x）＜0，得0＜x＜1，即當(dāng)x=1時，函數(shù)取得極小值f（1）=1-ln1=1＞0，
即當(dāng)x＞0時，f（x）＞0恒成立，即x＞lnx恒成立，則存在正數(shù)x₀，當(dāng)x＞x₀時，x＞lnx為真命題，
C．當(dāng)x=4時，2^x=x²成立，則2^x＞x²不成立，故C錯誤，
D．當(dāng)x＞0時，由x³＞$\sqrt{x}$得x⁶＞x，即x⁵＞1，即x＞1，即當(dāng)x＞2時x³＞$\sqrt{x}$恒成立，故D正確，
故選：C

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及全稱命題，特稱命題的真假判斷，考查學(xué)生的推理和判斷能力．