Question

已知函數(shù)f（x）滿足下列條件
①定義域為（-1，1）
②對于任意的x，y∈（-1，1）都有f（x）+f（y）=f（

x+y

1+xy

）
③當x＜0時f（x）＞0    
已知該函數(shù)為奇函數(shù)，若f（-

1

3

）=1，寫出方程f（x）+

1

2

=0的一個解．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用賦值法，令x=y=0，可求出f（0）的值；由于f（x）為奇函數(shù)，先證f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，先設(shè)0＜x₁＜x₂＜1，然后作差求f（x₁）-f（x₂），根據(jù)題目條件進行化簡變形判定其符號，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可判定．從而推出f（x）在（-1，1）上遞減，方程f（x）+

1

2

=0即為2f（x）+1=0，而f（-

1

3

）=1，即為f（

1

3

）=-1，則有2f（x）=f（

1

3

），則f（

2x

1+x2

）=f（

1

3

），再由單調(diào)性，解方程即可得到．

解答： 解：令x=y=0則f（0）+f（0）=f（0），則f（0）=0，
由于f（x）為奇函數(shù)，先證f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，
設(shè)0＜x₁＜x₂＜1，則f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（

x1-x2

1-x1x2

）．
而x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜1所以-1＜

x1-x2

1-x1x2

＜0，
∵當x∈（-1，0）時，f（x）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（

x1-x2

1-x1x2

）＞0，
即當x₁＜x₂時，f（x₁）＞f（x₂）．
∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減．
則f（x）在（-1，1）上遞減，
方程f（x）+

1

2

=0即為2f（x）+1=0，而f（-

1

3

）=1，即為f（

1

3

）=-1，
則有2f（x）=f（

1

3

），則f（

2x

1+x2

）=f（

1

3

），
由于f（x）在（-1，1）上遞減，
則

2x

1+x2

=

1

3

，解得x=3-2

2

（3+2

2

舍去）．
故方程f（x）+

1

2

=0的一個解為：3-2

2

．

點評：本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性的判定與證明，以及單調(diào)性的運用：解方程，屬于中檔題．