Question

18．如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，一只螞蟻沿側面CC₁D₁D從C點出發(fā)，經(jīng)過棱DD₁上的一點M到達A₁，當螞蟻所走的路程最短時，
（Ⅰ）求B₁M的長；
（Ⅱ）求證：B₁M⊥平面MAC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將長方體展開，根據(jù)兩點之間線段最短可得M為D₁D中點，螞蟻所走的路徑最短，利用勾股定理即可計算B₁M的值．
（Ⅱ）由題意，計算可得B₁M²+CM²=B₁C²=5；B₁M²+AM²=B₁A²=5，利用勾股定理即可證明B₁M⊥MC，B₁M⊥AM，從而判定B₁M⊥平面MAC．

解答 解：（Ⅰ）∵在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，
將側面C₁D沿D₁D展開到平面A₁D，連結A₁C交D₁D于M，此時M為D₁D中點，螞蟻所走的路徑最短．
∴B₁M=$\sqrt{{B}_{1}{{D}_{1}}^{2}+{D}_{1}{M}^{2}}$=$\sqrt{3}$…（6分）
（Ⅱ）∵B₁M²+CM²=B₁C²=5；B₁M²+AM²=B₁A²=5，
∴B₁M⊥MC，B₁M⊥AM，
∴B₁M⊥平面MAC…（12分）

點評 本題主要考查了直線與平面垂直的判定，考查了長方體的表面的最短路徑問題．注意將長方體展開，根據(jù)兩點之間線段最短求解是解此題的關鍵，屬于中檔題．