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10.已知函數(shù)f(x)=2sinωxcosωx+23sin2ωx-3(ω>0)的最小正周期為π.
(1)求ω的值及函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間;
(2)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移π6個(gè)單位,再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)y=g(x)的圖象.若y=g(x)在[0,b](b>0)上至少含有10個(gè)零點(diǎn),求b的最小值.

分析 (1)利用二倍角以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin(ωx+φ)的形式,最小正周期為π.利用周期公式求ω的值,最后將內(nèi)層函數(shù)看作整體,放到正弦函數(shù)的減區(qū)間上,解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)根據(jù)三角函數(shù)平移變換的規(guī)律,求出g(x)的解析式和周期以及g(x)零點(diǎn),根據(jù)y=g(x)在[0,b](b>0)上至少含有10個(gè)零點(diǎn),結(jié)合三角函數(shù)零點(diǎn)可得范圍.求出b的最小值.

解答 解:(1)由題意得:f(x)=2sinωxcosωx+23sin2ωx-3
=sin2ωx-3cos2ωx=2sin(2ωxπ3
由最小正周期為π=2π2ω,得ω=1,
得f(x)=2sin(2xπ3
令2kπ+π2≤2x-π3≤2kπ+3π2,k∈Z.
整理得kπ+5π12≤x≤kπ+11π12,k∈Z,
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間是[kπ+5π12kπ+11π12],k∈Z.
(2)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移π6個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,得到y(tǒng)=2sin2x+1的圖象,
∴g(x)=2sin2x+1.
令g(x)=0,得x=kπ+7π12或x=kπ+11π12(k∈Z),
∴y=g(x)在[0,π]上恰好有兩個(gè)零點(diǎn),
若y=g(x)在[0,b]上至少有10個(gè)零點(diǎn),
則b不小于第10個(gè)零點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可,
即b的最小值為4π+11π12=59π12

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用,確定函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵.屬于中檔題.

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