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10.已知函數(shù)f(x)=2sinωxcosωx+23sin2ωx-3(ω>0)的最小正周期為π.
(1)求ω的值及函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間;
(2)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移\frac{π}{6}個(gè)單位,再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)y=g(x)的圖象.若y=g(x)在[0,b](b>0)上至少含有10個(gè)零點(diǎn),求b的最小值.

分析 (1)利用二倍角以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin(ωx+φ)的形式,最小正周期為π.利用周期公式求ω的值,最后將內(nèi)層函數(shù)看作整體,放到正弦函數(shù)的減區(qū)間上,解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)根據(jù)三角函數(shù)平移變換的規(guī)律,求出g(x)的解析式和周期以及g(x)零點(diǎn),根據(jù)y=g(x)在[0,b](b>0)上至少含有10個(gè)零點(diǎn),結(jié)合三角函數(shù)零點(diǎn)可得范圍.求出b的最小值.

解答 解:(1)由題意得:f(x)=2sinωxcosωx+2\sqrt{3}sin2ωx-\sqrt{3}
=sin2ωx-\sqrt{3}cos2ωx=2sin(2ωx-\frac{π}{3}
由最小正周期為π=\frac{2π}{2ω},得ω=1,
得f(x)=2sin(2x-\frac{π}{3}
令2kπ+\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{3π}{2},k∈Z.
整理得kπ+\frac{5π}{12}≤x≤kπ+\frac{11π}{12},k∈Z,
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間是[kπ+\frac{5π}{12},kπ+\frac{11π}{12}],k∈Z.
(2)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移\frac{π}{6}個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,得到y(tǒng)=2sin2x+1的圖象,
∴g(x)=2sin2x+1.
令g(x)=0,得x=kπ+\frac{7π}{12}或x=kπ+\frac{11π}{12}(k∈Z),
∴y=g(x)在[0,π]上恰好有兩個(gè)零點(diǎn),
若y=g(x)在[0,b]上至少有10個(gè)零點(diǎn),
則b不小于第10個(gè)零點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可,
即b的最小值為4π+\frac{11π}{12}=\frac{59π}{12}

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用,確定函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵.屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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日期第1年第2年第3年第4年第5年
優(yōu)惠金額x(千元)101113128
銷售量y(輛)2325302616
該公司所確定的研究方案是:先從這5組數(shù)據(jù)中選取2組,用剩下的3組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再對(duì)被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).
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(2)若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過(guò)2輛,則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的,試問(wèn)(1)中所得的線性回歸方程是否可靠?
相關(guān)公式:\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{({{x_i}-\overline x})({{y_i}-\overline y})}}}{{\sum_{i=1}^n{{{({{x_i}-\overline x})}^2}}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}},\hat a=\overline y-\hat b\overline x

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