Question

15．過點(diǎn)（3，-2）且與曲線$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）有相同焦點(diǎn)的橢圓方程是$\frac{{x}^{2}}{15}$+$\frac{{y}^{2}}{10}$=1．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，將曲線的參數(shù)方程變形為普通方程，分析可得該曲線為橢圓，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±$\sqrt{5}$，0），設(shè)要求的橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，由橢圓的幾何性質(zhì)可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-^{2}=5}\\{\frac{9}{{a}^{2}}+\frac{4}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，解可得a²、b²的值，將a²、b²的值代入橢圓的方程即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，曲線的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$，則其普通方程為$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
則該曲線為橢圓，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±$\sqrt{5}$，0），
設(shè)要求的橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，
則有$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-^{2}=5}\\{\frac{9}{{a}^{2}}+\frac{4}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，
解可得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=15}\\{^{2}=10}\end{array}\right.$，
故要求的橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{15}$+$\frac{{y}^{2}}{10}$=1；
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{15}$+$\frac{{y}^{2}}{10}$=1．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的參數(shù)方程以及標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵是將曲線的參數(shù)方程變形為普通方程．