Question

14．對某地區(qū)兒童的身高與體重的一組數(shù)據(jù)，我們用兩種模型①y=bx+a，②y=ce^dx擬合，得到回歸方程分別為${\widehaty^{（1）}}=0.24x-8.81$，${\widehaty^{（2）}}=1.70{e^{0.022x}}$，作殘差分析，如表：

身高x（cm）	60	70	80	90	100	110
體重y（kg）	6	8	10	14	15	18
${\widehate^{（1）}}$	0.41	0.01		1.21	-0.19	0.41
${\widehate^{（2）}}$	-0.36	0.07	0.12	1.69	-0.34	-1.12

（Ⅰ）求表中空格內(nèi)的值；
（Ⅱ）根據(jù)殘差比較模型①，②的擬合效果，決定選擇哪個模型；
（Ⅲ）殘差大于1kg的樣本點(diǎn)被認(rèn)為是異常數(shù)據(jù)，應(yīng)剔除，剔除后對（Ⅱ）所選擇的模型重新建立回歸方程．
（結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后兩位）
附：對于一組數(shù)據(jù)（x₁，y₁），（x₂，y₂），…（x_n，y_n），其回歸直線y=bx+a的斜率和截距的最小二乘法估計分別為$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\overline x}）（{{y_i}-\overline y}）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{{x_i}-\overline x}）}^2}}}}$，$\widehata=\overline y-\widehatb\overline x$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)殘差分析，把x=80代入${\widehaty^{（1）}}=0.24x-8.81$得${\widehaty^{（1）}}=10.39$.10-10.39=-0.39，即可求表中空格內(nèi)的值；
（Ⅱ）求出殘差的絕對值和，即可得出結(jié)論；
（Ⅲ）確定殘差大于1kg的樣本點(diǎn)被剔除后，剩余的數(shù)據(jù)，即可求出回歸方程．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)殘差分析，把x=80代入${\widehaty^{（1）}}=0.24x-8.81$得${\widehaty^{（1）}}=10.39$.10-10.39=-0.39．
所以表中空格內(nèi)的值為-0.39．
（Ⅱ）模型①殘差的絕對值和為0.41+0.01+0.39+1.21+0.19+0.41=2.62，
模型②殘差的絕對值和為0.36+0.07+0.12+1.69+0.34+1.12=3.7.2.62＜3.7，
所以模型①的擬合效果比較好，選擇模型①．
（Ⅲ）殘差大于1kg的樣本點(diǎn)被剔除后，剩余的數(shù)據(jù)如表

由公式：$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\overline x}）（{{y_i}-\overline y}）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{{x_i}-\overline x}）}^2}}}}$，$\widehata=\overline y-\widehatb\overline x$．得回歸方程為y=0.24x-8.76．

點(diǎn)評 本題考查回歸方程、殘差分析，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．