Question

4．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{m}+\frac{1}{\sqrt{m}}}\\{y=\sqrt{m}-\frac{1}{\sqrt{m}}}\end{array}\right.$（m為參數(shù)），直線l交曲線C₁于A，B兩點(diǎn)；以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C₂的極坐標(biāo)方程是ρ=4sin（θ-$\frac{π}{6}$），點(diǎn)P（ρ，$\frac{π}{3}$）在曲線C₂上．
（1）求曲線C₁的普通方程及點(diǎn)P的直角坐標(biāo)；
（2）若直線l的傾斜角為$\frac{2π}{3}$且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，求|PA|+|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）消去參數(shù)，求曲線C₁的普通方程，求出P的極坐標(biāo)，即可求出點(diǎn)P的直角坐標(biāo)；
（2）若直線l的傾斜角為$\frac{2π}{3}$且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，寫(xiě)出參數(shù)方程代入x²-y²=4，整理可得t²+8t+12=0，即可求|PA|+|PB|的值．

解答 解：（1）曲線C₁的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{m}+\frac{1}{\sqrt{m}}}\\{y=\sqrt{m}-\frac{1}{\sqrt{m}}}\end{array}\right.$（m為參數(shù)），消去m可得x²-y²=4，
$θ=\frac{π}{3}$，ρ=2，∴點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為（1，$\sqrt{3}$）；
（2）直線l的傾斜角為$\frac{2π}{3}$且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{1}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$，
代入x²-y²=4，整理可得t²+8t+12=0，
設(shè)A、B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁、t₂，則t₁+t₂=-8，t₁t₂=12，
∴|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|=8

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線參數(shù)方程的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．