Question

19．已知動點(diǎn)M（x，y）滿足：$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$+$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，M的軌跡為曲線E．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)F（1，0）作直線l交曲線E于P，Q兩點(diǎn)，交y軸于R點(diǎn)，若$\overrightarrow{RP}$=λ₁$\overrightarrow{PF}$，$\overrightarrow{RQ}$=λ₂$\overrightarrow{QF}$，求證：λ₁+λ₂為定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知，可得動點(diǎn)N的軌跡是以C（-1，0），A（1，0）為焦點(diǎn)的橢圓，根據(jù)定義可得，a、c，可得曲線E的方程；
（Ⅱ）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），R（0，y₀），由$\overrightarrow{RP}$=λ₁$\overrightarrow{PF}$，${x}_{1}=\frac{{λ}_{1}}{1+{λ}_{1}}，{y}_{1}=\frac{{y}_{0}}{1+{λ}_{1}}$，點(diǎn)P在曲線E上可得${{λ}_{1}}^{2}+4{λ}_{1}+2-2{{y}_{0}}^{2}=0$…①，同理可得：${{λ}_{2}}^{2}+4{λ}_{2}+2-2{{y}_{0}}^{2}=0$…②
由①②可得λ₁、λ₂是方程x²+4x+2-2y₀²=0的兩個根，λ₁+λ₂為定值-4．

解答 解：（Ⅰ）由$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$+$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，可得點(diǎn)M（x，y）到定點(diǎn)A（-1，0），B（1，0）的距離等于之和等于2$\sqrt{2}$．
且AB$＜2\sqrt{2}$，所以動點(diǎn)N的軌跡是以C（-1，0），A（1，0）為焦點(diǎn)的橢圓，
且長軸長為2$\sqrt{2}$，焦距2c=2，所以，c=1，b=1，
曲線E的方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），R（0，y₀），
由$\overrightarrow{RP}$=λ₁$\overrightarrow{PF}$，（x₁，y₁-y₀）=λ₁（1-x₁，-y₁），∴${x}_{1}=\frac{{λ}_{1}}{1+{λ}_{1}}，{y}_{1}=\frac{{y}_{0}}{1+{λ}_{1}}$，
∵過點(diǎn)F（1，0）作直線l交曲線E于P，∴$\frac{1}{2}（\frac{{λ}_{1}}{1+{λ}_{1}}）^{2}+（\frac{{y}_{0}}{1+{λ}_{1}}）^{2}=1$，
∴${{λ}_{1}}^{2}+4{λ}_{1}+2-2{{y}_{0}}^{2}=0$…①
同理可得：${{λ}_{2}}^{2}+4{λ}_{2}+2-2{{y}_{0}}^{2}=0$…②
由①②可得λ₁、λ₂是方程x²+4x+2-2y₀²=0的兩個根，
∴λ₁+λ₂為定值-4．

點(diǎn)評 本題考查了動點(diǎn)的軌跡問題，以及定值問題，轉(zhuǎn)化思想是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．