【題目】雙曲線：的左右頂點(diǎn)分別為，，動(dòng)直線垂直的實(shí)軸，且交于不同的兩點(diǎn)，直線與直線的交點(diǎn)為.

（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）過點(diǎn)作的兩條互相垂直的弦，，證明：過兩弦，中點(diǎn)的直線恒過定點(diǎn).

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

(1) 設(shè) 則且，再求出直線的方程為，直線的方程為， 再消去即得點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）先求出D的中點(diǎn)，的中點(diǎn)， 再證明過兩弦，中點(diǎn)的直線恒過定點(diǎn).

（1）因?yàn)?/span>，

設(shè) 則且①，

因?yàn)閯?dòng)直線交雙曲線于不同的兩點(diǎn)，所以且，

因?yàn)橹本�的方程為②，

直線的方程為③，

②③得，

把①代入上式得，化簡(jiǎn)得，

所以點(diǎn)的軌跡的方程為.

（2）依題意得直線與直線斜率均存在且不為0，

設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，

聯(lián)立得，

則，設(shè)，

，，

所以的中點(diǎn)，

同理的中點(diǎn)，

所以直線的斜率為，

所以直線的方程為，

整理得，

所以直線恒過定點(diǎn)，即過兩弦中點(diǎn)的直線恒過定點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求證：若，則；

（2）當(dāng)時(shí)，試討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng)．

（Ⅰ）求證：D1E⊥A1D；

（Ⅱ）在棱AB上是否存在點(diǎn)E使得AD1與平面D1EC成的角為？若存在，求出AE的長(zhǎng)，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】對(duì)于無窮數(shù)列，若正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有，則稱為“不減數(shù)列”.

(1)設(shè)，均為正整數(shù)，且，甲:為“不減數(shù)列”，乙:為“不減數(shù)列”.試判斷命題:“甲是乙的充分條件”的真假，并說明理由;

(2)已知函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，數(shù)列滿足，，如果為“不減數(shù)列”，試求的最小值;

(3)對(duì)于（2）中的，設(shè)，且.是否存在實(shí)數(shù)使得為“不減數(shù)列”?若存在，求出的取值范圍;若不存在，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下圖是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德用平衡法求球的體積所用的圖形.此圖由正方形、半徑為的圓及等腰直角三角形構(gòu)成，其中圓內(nèi)切于正方形，等腰三角形的直角頂點(diǎn)與的中點(diǎn)重合，斜邊在直線上.已知為的中點(diǎn)，現(xiàn)將該圖形繞直線旋轉(zhuǎn)一周，則陰影部分旋轉(zhuǎn)后形成的幾何體積為（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在正方體中，分別為，和的中點(diǎn)，則下列關(guān)系：

①；

②平面；

③；

④平面，

正確的編號(hào)為___________________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】血藥濃度（Serum Drug Concentration）是指藥物吸收后在血漿內(nèi)的總濃度（單位：mg/ml），通常用血藥濃度來研究藥物的作用強(qiáng)度．下圖為服用同等劑量的三種新藥后血藥濃度的變化情況，其中點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示服用第種藥后血藥濃度達(dá)到峰值時(shí)所用的時(shí)間，其它點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別表示服用三種新藥后血藥濃度第二次達(dá)到峰值一半時(shí)所用的時(shí)間(單位：h)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)表示第種藥的血藥濃度的峰值．（）

①記為服用第種藥后達(dá)到血藥濃度峰值時(shí)，血藥濃度提高的平均速度，則中最大的是_______；

②記為服用第種藥后血藥濃度從峰值降到峰值的一半所用的時(shí)間，則中最大的是_______

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知過拋物線的焦點(diǎn)，斜率為的直線交拋物線于兩點(diǎn)，且.

(1)求該拋物線的方程；

(2) 為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線上一點(diǎn)，若，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下列結(jié)論正確的是（ ）．

A.“，互為共軛復(fù)數(shù)”是“”的充分不必要條件

B.如圖，在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的向量分別是，，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為

C.若函數(shù)恰在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的值為4

D.函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為

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