Question

14．若存在n個不同的正整數(shù)a₁，a₂，…，a_n，對任意1≤i＜j≤n，都有$\frac{{{a_i}+{a_j}}}{{{a_i}-{a_j}}}$∈Z，則稱這n個不同的正整數(shù)a₁，a₂，…，a_n為“n個好數(shù)”．
（1）請分別對n=2，n=3構(gòu)造一組“好數(shù)”；
（2）證明：對任意正整數(shù)n（n≥2），均存在“n個好數(shù)”．

Answer 1

分析 （1）利用新定義，分別對n=2，n=3構(gòu)造一組“好數(shù)”；
（2）利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明即可．

解答 解：（1）當(dāng)n=2時(shí)，取數(shù)a₁=1，a₂=2，因?yàn)?\frac{2+1}{1-2}$=3∈Z，
當(dāng)n=3時(shí)，取數(shù)a₁=2，a₂=3，a₃=4，則$\frac{2+3}{2-3}$=-5∈Z，$\frac{3+4}{3-4}$=-7∈Z，$\frac{2+4}{2-4}$=-3∈Z，即a₁=2，a₂=3，a₃=4可構(gòu)成三個好數(shù)．
（2）證：①由（1）知當(dāng)n=2，3時(shí)均存在，
②假設(shè)命題當(dāng)n=k（k≥2，k∈Z）時(shí)，存在k個不同的正整數(shù)a₁，a₂，…，a_k，
使得對任意1≤i＜j≤k，都有$\frac{{{a_i}+{a_j}}}{{{a_i}-{a_j}}}$∈Z成立，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，構(gòu)造k+1個數(shù)A，A+a₁，A+a₂，…，A+a_k，（*）
其中A=1×2×…×a_k，
若在（*）中取到的是A和A+a_i，則$\frac{A+A+{a}_{i}}{A-A-{a}_{i}}$=-$\frac{2A}{{a}_{i}}$-1∈Z，所以成立，
若取到的是A+a_i和A+a_j，且i＜j，
則$\frac{A+{a}_{i}+A+{a}_{j}}{A+{a}_{i}-A-{a}_{j}}$=$\frac{2A}{{a}_{i}-{a}_{j}}$+$\frac{{{a_i}+{a_j}}}{{{a_i}-{a_j}}}$，由歸納假設(shè)得$\frac{{{a_i}+{a_j}}}{{{a_i}-{a_j}}}$∈Z，
又a_j-a_i＜a_k，所以a_j-a_i是A的一個因子，即$\frac{2A}{{a}_{i}-{a}_{j}}$∈Z，
所以$\frac{A+{a}_{i}+A+{a}_{j}}{A+{a}_{i}-A-{a}_{j}}$=$\frac{2A}{{a}_{i}-{a}_{j}}$+$\frac{{{a_i}+{a_j}}}{{{a_i}-{a_j}}}$∈Z，
所以當(dāng)n=k+1時(shí)也成立．
所以對任意正整數(shù)，均存在“n個好數(shù)”．

點(diǎn)評 本題考查新定義，考查數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．