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14.已知雙曲線Γ:y2a2x2b2=1a0b0的上焦點(diǎn)為F1(0,c)(c>0),下焦點(diǎn)為F2(0,-c)(c>0),過點(diǎn)F1作圓x2+y2-2c3y+a29=0的切線與圓相切于點(diǎn)D,與雙曲線下支交于點(diǎn)M,若MF2⊥MF1,則雙曲線Γ的漸進(jìn)線方程為( �。�
A.4x±y=0B.x±4y=0C.2x±y=0D.x±2y=0

分析 由圓的方程求出圓心坐標(biāo),設(shè)出D的坐標(biāo),由題意列式求出D的坐標(biāo),結(jié)|MF|=3|DF|,求得M的坐標(biāo),再把M的坐標(biāo)代入雙曲線方程求得答案.

解答 解:由x2+y2-2c3y+a29=0,得x2+(y-c32=29
則該圓的圓心坐標(biāo)為(0,c3),半徑為\frac{3}
設(shè)切點(diǎn)D(x0,y0)(y0>0),
則x2+y2-2c3y+a29=0與(x0,y0-c)•(x0,y0-c3)=0,
解得:x0=b3c2+a26c,y0=3c2a26c
∴D(b3c2+a26c3c2a26c),
由題意得D是MF1的中點(diǎn),得M(2×b3c2+a26c,2×3c2a26c-c),
代入 雙曲線Γ:y2a2x2b2=1a0b0整理得b=4a,∴雙曲線Г的漸近線方程為x±4y=0.
故選:B.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),考查了圓與圓錐曲線間的關(guān)系,考查了學(xué)生的計(jì)算能力,是中檔題.

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