Question

1．已知數(shù)列$\frac{1}{1×3}$，$\frac{1}{3×5}$，$\frac{1}{5×7}$，…，$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$的前n項(xiàng)和S_n
（1）計(jì)算S₁，S₂，S₃，S₄；并由此推測(cè)S_n的表達(dá)式；
（2）證明（1）中推測(cè)的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）利用S_n=$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$，分別取n=1，2，3，4即可得出．
（2）利用“裂項(xiàng)求和”方法即可證明．

解答 解：（1）S_n=$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$，
S₁=$\frac{1}{3}$，
S₂=$\frac{1}{3}+\frac{1}{3×5}$=$\frac{2}{5}$，
同理可得：
S₃=$\frac{3}{7}$，
S₄=$\frac{4}{9}$．
由此推測(cè)S_n=$\frac{n}{2n+1}$．
證明：（2）∵$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．
∴S_n=$\frac{1}{2}$$[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{n}{2n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、“裂項(xiàng)求和”方法、數(shù)列通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．