Question

10．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}（1-2a）x+5（x≤12）\\{a^{x-13}}（x＞12）\end{array}\right.$，若數(shù)列{a_n}滿足a_n=f（n），n∈N₊，且對(duì)任意的兩個(gè)正整數(shù)m，n（m≠n），都有（m-n）（a_m-a_n）＜0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$）．

Answer 1

分析 由題意可得數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列，根據(jù)函數(shù)得單調(diào)性可得$\left\{\begin{array}{l}{1-2a＜0}\\{0＜a＜1}\\{12（1-2a）+5＞{a}^{0}=1}\end{array}\right.$，解不等式得即可得到a的范圍．

解答 解：∵對(duì)任意的兩個(gè)正整數(shù)m，n（m≠n）都有（m-n）（a_m-a_n）＜0，
∴數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列，
又∵函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}（1-2a）x+5（x≤12）\\{a^{x-13}}（x＞12）\end{array}\right.$，a_n=f（n）（n∈N^*），
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-2a＜0}\\{0＜a＜1}\\{12（1-2a）+5＞{a}^{0}=1}\end{array}\right.$，即為$\left\{\begin{array}{l}{a＞\frac{1}{2}}\\{0＜a＜1}\\{a＜\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{2}{3}$
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$）．
故答案為：（$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)，其中根據(jù)分段函數(shù)中自變量n∈N^*時(shí)，對(duì)應(yīng)數(shù)列為遞減數(shù)列，得到函數(shù)在兩個(gè)段上均為減函數(shù)，從而構(gòu)造出關(guān)于變量a的不等式是解答本題的關(guān)鍵．