Question

9．一列數(shù)是這樣排列的：$\frac{1}{1}$，$\frac{1}{1}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{2}$，$\frac{2}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{3}$，$\frac{3}{3}$…其中第2016個分數(shù)是$\frac{18}{45}$．

Answer 1

分析 可得：分母為1的有2項；分母為2的有4項；分母為3的有6項；…，分母為n的有2n項；可得：從分母為1到分母為n的所有項的總數(shù)為：2+4+…+2n=n²+n．分別令n=44，n=45，即可判斷出結(jié)論．其中第2016個分數(shù)是分母為45的第36個，為$\frac{18}{45}$．

解答 解：一列數(shù)是這樣排列的：$\frac{1}{1}$，$\frac{1}{1}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{2}$，$\frac{2}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{3}$，$\frac{3}{3}$…，
可得：分母為1的有2項；分母為2的有4項；分母為3的有6項；…，分母為n的有2n項；
∴從分母為1到分母為n的所有項的總數(shù)為：2+4+…+2n=2×$\frac{n（1+n）}{2}$=n²+n．
令n=44，則44²+44=1980；
令n=45，則45²+45=2070．
∴其中第2016個分數(shù)是分母為45的第36個，為$\frac{18}{45}$．
故答案為：$\frac{18}{45}$．

點評 本題考查了數(shù)列的通項公式、等差數(shù)列的求和公式，考查了觀察分析猜想歸納推理能力與計算能力，屬于中檔題．