Question

20．已知f（x）=|x-$\frac{1}{2}$|+|x-$\frac{3}{2}$|，記f（x）≤2的解集為M．
（Ⅰ）求集合M
（Ⅱ）若a∈M，試比較a²-a+1與$\frac{1}{a}$的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的分段函數(shù)，通過討論x的范圍，解不等式，求出集合M即可；（Ⅱ）作差，通過討論a的范圍，判斷大小即可．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=|{x-\frac{1}{2}}|-|{x-\frac{3}{2}}|=\left\{\begin{array}{l}2-2x，x≤\frac{1}{2}\\ 1，\frac{1}{2}＜x＜\frac{3}{2}\\ 2x-2，x≥\frac{3}{2}\end{array}\right.$，
由f（x）＜2，得：
①當(dāng)x＜$\frac{1}{2}$時(shí)，2-2x＜2，解得$0＜x＜\frac{1}{2}$，
②當(dāng)$\frac{1}{2}≤x≤\frac{3}{2}$時(shí)，1＜2恒成立
③當(dāng)x＞$\frac{3}{2}$時(shí)，2x-2＜2，解得$\frac{3}{2}＜x＜2$
綜上：0＜x＜2…（4分）
故M={x|0＜x＜2}；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知0＜a＜2，
因?yàn)閍²-a+1-$\frac{1}{a}$=$\frac{（a-1）{（a}^{2}+1）}{a}$，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，$\frac{（a-1）{（a}^{2}+1）}{a}$＜0，所以為a²-a+1＜$\frac{1}{a}$，
當(dāng)a=1時(shí)，$\frac{（a-1）{（a}^{2}+1）}{a}$=0，所以a²-a+1=$\frac{1}{a}$，
當(dāng)1＜a＜2時(shí)，$\frac{（a-1）{（a}^{2}+1）}{a}$＞0，所以${a^2}-a+1＞\frac{1}{a}$，
綜上所述：當(dāng)0＜a＜1時(shí)，${a^2}-a+1＜\frac{1}{a}$
當(dāng)a=1時(shí)，a²-a+1=$\frac{1}{a}$，
當(dāng)1＜a＜2時(shí)，${a^2}-a+1＞\frac{1}{a}$．

點(diǎn)評(píng) 本小題考查絕對(duì)值不等式的解法與性質(zhì)、不等式的證明等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等．