Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-2ax+2+b（a＞0）在區(qū)間[2，3]上的值域?yàn)閇2，5]
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若關(guān)于x的函數(shù)g（x）=f（x）-（m+1）x在區(qū)間[2，4]上為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）的圖象及對(duì)稱軸可判斷f（x）在[2，3]上遞增，從而有f（2）=2，f（3）=5，聯(lián)立即可解得a，b值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知g（x）=x²-（m+3）x+2．分g（x）在[2，4]上遞增、遞減兩種情況討論，可得其對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，由此可得到不等式，解出即可．

解答：解：（Ⅰ）∵a＞0，∴所以拋物線開口向上且對(duì)稱軸為x=1．
∴函數(shù)f（x）在[2，3]上單調(diào)遞增．
由條件得

f(2)=2 f(3)=5

，即

2+b=2 3a+2+b=5

，解得a=1，b=0．　
故a=1，b=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=1，b=0．
∴f（x）=x²-2x+2，從而g（x）=x²-（m+3）x+2．       
①若g（x）在[2，4]上遞增，則對(duì)稱軸x=

m+3

2

≤2，解得m≤1；
②若g（x）在[2，4]上遞減，則對(duì)稱軸x=

m+3

2

≥4，解得m≥5，
故所求m的取值范圍是m≥5或m≤1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想及分類討論思想，深刻理解“三個(gè)二次”間的關(guān)系是解決該類問題的基礎(chǔ)．