Question

3．如圖，已知D是△ABC邊BC上一點(diǎn)．
（1）若B=45°，且AB=DC=1，求△ADC的面積；
（2）當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，若$BD：DC：AC=2：1：\sqrt{3}$，且$AD=4\sqrt{2}$，求DC的長．

Answer 1

分析 （　　）1）過A點(diǎn)作AE⊥BC，交BC于點(diǎn)E，由已知可求AE，進(jìn)而利用三角形面積公式即可計(jì)算得解．
（2）設(shè)CD=x，則BD=2x，AC=$\sqrt{3}$x，可求BC=3x，進(jìn)而利用余弦定理，三角函數(shù)的定義建立方程即可解得DC的值．

解答 解：（1）過A點(diǎn)作AE⊥BC，交BC于點(diǎn)E，
∵B=45°，且AB=DC=1，
則AE=ABsinB=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
可得：S_△ADC=$\frac{1}{2}$DC•AE=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
（2）設(shè)CD=x，則BD=2x，AC=$\sqrt{3}$x，
∴BC=CD+BD=3x，
∴cos∠ACB=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
在△ADC中由余弦定理可得AD²=AC²+CD²-2AC•CD•COS∠ACB，
即（4$\sqrt{2}$）²=3x²+x²-2×$\sqrt{3}$x•x•$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
解得x=4，
即DC=4

點(diǎn)評 本題主要考查了三角形的面積公式，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題．