Question

20．已知雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，若在雙曲線C的右支上存在一點(diǎn)P滿足|PF₁|=3|PF₂|，且$\overrightarrow{P{F_1}}$•$\overrightarrow{P{F_2}}$=-a²，則雙曲線C的離心率為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)|PF₂|=t，則|PF₁|=3t，利用雙曲線的定義，可得t=a，利用余弦定理可得cos∠F₁PF₂，再利用數(shù)量積公式，即可求出雙曲線C的離心率為．

解答 解：設(shè)|PF₂|=t，則|PF₁|=3t，∴3t-t=2a，
∴t=a，
由余弦定理可得cos∠F₁PF₂=$\frac{9{a}^{2}+{a}^{2}-4{c}^{2}}{2×3a×a}$=$\frac{5{a}^{2}-2{c}^{2}}{3{a}^{2}}$，
∵$\overrightarrow{P{F_1}}$•$\overrightarrow{P{F_2}}$=-a²，
∴3a•a•$\frac{5{a}^{2}-2{c}^{2}}{3{a}^{2}}$=-a²，
∴c=$\sqrt{3}$a，
∴e=$\frac{c}{a}$$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)，考查了雙曲線的定義、余弦定理的運(yùn)用，考查向量的數(shù)量積公式，屬于中檔題．