Question

6．如圖，在△ABC中，D為邊BC上一點，AD=6，BD=3，
DC=2．
（1）若AD⊥BC，求∠BAC的大��；
（2）若∠ABC=$\frac{π}{4}$，求△ADC的面積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)∠BAD=α，∠DAC=β，由已知可求tanα=$\frac{1}{2}$，tanβ=$\frac{1}{3}$，利用兩角和的正切函數(shù)公式可求tan∠BAC=1．結(jié)合范圍∠BAC∈（0，π），即可得解∠BAC的值．
（2）設(shè)∠BAD=α．由正弦定理可求sinα=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，利用大邊對大角，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cosα的值，利用兩角和的正弦函數(shù)公式可求sin∠ADC，進而利用三角形面積公式即可計算得解．

解答 （本小題滿分14分）
解：（1）設(shè)∠BAD=α，∠DAC=β．
因為AD⊥BC，AD=6，BD=3，DC=2，
所以tanα=$\frac{1}{2}$，tanβ=$\frac{1}{3}$，…（2分）
所以tan∠BAC=tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=$\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{2}×\frac{1}{3}}$=1．…（4分）
又∠BAC∈（0，π），
所以∠BAC=$\frac{π}{4}$．…（6分）
（2）設(shè)∠BAD=α．在△ABD中，∠ABC=$\frac{π}{4}$，AD=6，BD=3．
由正弦定理得$\frac{AD}{sin\frac{π}{4}}$=$\frac{BD}{sinα}$，解得sinα=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．…（8分）
因為AD＞BD，
所以α為銳角，從而cosα=$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=$\frac{\sqrt{14}}{4}$．…（10分）
因此sin∠ADC=sin（α+$\frac{π}{4}$）=sinαcos$\frac{π}{4}$+cosαsin$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{4}$+$\frac{\sqrt{14}}{4}$）=$\frac{1+\sqrt{7}}{4}$．…（12分）
△ADC的面積S=$\frac{1}{2}$×AD×DC•sin∠ADC=$\frac{1}{2}$×6×2×$\frac{1+\sqrt{7}}{4}$=$\frac{3}{2}$（1+$\sqrt{7}$）．…（14分）

點評 本題主要考查了兩角和的正切函數(shù)公式，正弦定理，大邊對大角，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角和的正弦函數(shù)公式，三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．