Question

17．在等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，M，N（不與A，C重合）為AC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足|$\overrightarrow{MN}$|=$\sqrt{2}$，則$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{BN}$的取值范圍為（　�。�

• A． [$\frac{3}{2}$，2]
• B． （$\frac{3}{2}$，2）
• C． [$\frac{3}{2}$，2）
• D． [$\frac{3}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 以等腰直角△ABC的直角邊為坐標(biāo)軸，建立平面直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出直線AC的方程，設(shè)出M的坐標(biāo)，由|$\overrightarrow{MN}$|表示出點(diǎn)N的坐標(biāo)，求出$\overrightarrow{BM}$、$\overrightarrow{BN}$與它們的數(shù)量積$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{BN}$的取值范圍即可．

解答 解：以等腰直角△ABC的直角邊為坐標(biāo)軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
如圖所示；則B（0，0），直線AC的方程為x+y=2；
設(shè)M（a，2-a），則0＜a＜1，
由|$\overrightarrow{MN}$|=$\sqrt{2}$，得N（a+1，1-a）；
∴$\overrightarrow{BM}$=（a，2-a），$\overrightarrow{BN}$=（a+1，1-a）；
∴$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{BN}$=a（a+1）+（2-a）（1-a）=2a²-2a+2=2（a-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{2}$．
∵0＜a＜1，∴當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{BN}$取得最小值$\frac{3}{2}$，
且a=0或1時(shí)，$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{BN}$=2，無(wú)最大值；
∴$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{BN}$的取值范圍是[$\frac{3}{2}$，2）．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算問(wèn)題，采用坐標(biāo)法可使問(wèn)題計(jì)算簡(jiǎn)便，注意a的范圍是解題的關(guān)鍵．