Question

已知函數(shù)f（x）=a•lnx+b•x²在點（1，f（1））處的切線方程為x-y-1=0．
（1）求f（x）的表達式；
（2）若f（x）滿足f（x）≥g（x）恒成立，則稱f（x）是g（x）的一個“上界函數(shù)”，如果函數(shù)（t為實數(shù)）的一個“上界函數(shù)”，求t的取值范圍；
（3）當m＞0時，討論在區(qū)間（0，2）上極值點的個數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）把x=1代入切線方程得到y(tǒng)=0，得到切點坐標，把切點坐標代入f（x）中，解得b的值，求出f（x）的導函數(shù)，把b的值代入后，再根據(jù)′（1）=1，求出a的值，把a與b的值代入即可確定出f（x）；
（2）把（1）求出的f（x）和g（x）的解析式代入題中的不等式中，不等式要恒成立，即要當x大于0時，t小于等于一個關系式，設這個關系式為一個函數(shù)h（x），求出h（x）的導函數(shù)，令導函數(shù)等于0求出x的值，利用x的值分區(qū)間討論導函數(shù)的正負，得到函數(shù)h（x）的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的增減性得到h（x）的最小值，進而得到t的取值范圍；
（3）把（1）中求出的f（x）代入確定出F（x）的解析式，求出F（x）的導函數(shù)，令導函數(shù)等于0，得到x+等于一個關系式，設y=x+，且x大于0小于2，畫出該函數(shù)的圖象，如圖所示，然后分m=1，m大于小于2，m大于0小于等于和m大于等于2，四種情況，根據(jù)函數(shù)的圖象，即可得到相應區(qū)間上極值點的個數(shù)．
解答：解：（1）當x=1時，y=0，代入f（x）=a•lnx+b•x²，可得：b=0，
所以f′（x）=，由切線方程知f′（1）=1，所以a=1，
因此a=1，b=0，所以f（x）=lnx；
（2）把f（x）和g（x）的解析式代入得：-lnx≤lnx恒成立，
因為x＞0，所以只需要t≤2xlnx在（0，+∞）恒成立即可，
令h（x）=2xlnx，則h′（x）=2（1+lnx），
當x∈（0，）時，h′（x）＜0，所以h（x）在（0，）上是減函數(shù)，
當x∈（，+∞）時，h′（x）＞0，所以h（x）在（，+∞）上是增函數(shù)，
所以h（x）_min=h（）=-，所以t≤-；
（3）由已知得F（x）=lnx+-x，所以F′（x）=+x-，
令F′（x）=0，得到+x=，令y=x+，x∈（0，2），
畫出該函數(shù)的圖象，如圖所示：

①當=2，即m=1時，F(xiàn)′（x）=0在區(qū)間（0，2）上只有一個根1，且在1的兩側，
x+＞2，即在1的兩側F′（x）同正，此時F（x）在（0，2）上無極值點；
②當2＜＜，即＜m＜2，且m≠1時，F(xiàn)′（x）=0在區(qū)間（0，2）上有兩個不等根，
不妨設為x₁，x₂，且x₁＜x₂，從圖象上看在x₁和x₂兩側F′（x）=x+-都是異號的，
因此x₁和x₂都是F（x）的極值點，此時F（x）在（0，2）上有兩個極值點；
③當，即0＜m≤時，方程在區(qū)間（0，2）上只有一個根m，
由該方程所對應的二次函數(shù)圖象可知，F(xiàn)′（x）在m兩側的符號不同，
因此函數(shù)F（x）在區(qū)間（0，2）上只有一個極值點；
④當，即m≥2時，方程在區(qū)間（0，2）上只有一個根，
由該方程所對應的二次函數(shù)圖象可知，F(xiàn)′（x）在兩側的符號不同，
因而函數(shù)F（x）在區(qū)間（0，2）上只有一個極值點，
綜上，當m=1時，函數(shù)F（x）在區(qū)間（0，2）上無極值點；
當m∈（0，）∪[2，+∞）時，函數(shù)F（x）在區(qū)間（0，2）上有一個極值點；
當m∈（，1）∪（1，2）時，函數(shù)F（x）在區(qū)間（0，2）上有兩個極值點．
點評：此題考查學生會利用導數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，掌握導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用，考查了分類討論和數(shù)形結合的數(shù)學思想，是一道中檔題．