Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)函數(shù)與函數(shù)圖象的公切線l經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值集合；

（3）證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，且滿足.

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（2）；（3）見(jiàn)解析

【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性；（2）先求出公切線的方程，再探討的取值范圍；（3）先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，證明零點(diǎn)個(gè)數(shù)．再使用函數(shù)思想，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性解決不等式問(wèn)題．

（1）對(duì)求導(dǎo)，得，

令，解得，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．

當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞減．

（2）設(shè)公切線與函數(shù)的切點(diǎn)為，，則公切線的斜率，

公切線的方程為：，將原點(diǎn)坐標(biāo)代入，得，解得．

公切線的方程為：，將它與聯(lián)立，整理得．

令，對(duì)之求導(dǎo)得：，令，解得．

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，值域?yàn)?/span>，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，值域?yàn)?/span>，

由于直線與函數(shù)相切，即只有一個(gè)公共點(diǎn)，因此．

故實(shí)數(shù)的取值集合為．

（3）證明：，要證有兩個(gè)零點(diǎn)，只要證有兩個(gè)零點(diǎn)即可．（1），

即時(shí)函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)．

對(duì)求導(dǎo)得：，令，解得．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，取最小值，，

，必定存在使得二次函數(shù)，

即．因此在區(qū)間上必定存在的一個(gè)零點(diǎn)．

綜上所述，有兩個(gè)零點(diǎn)，一個(gè)是，另一個(gè)在區(qū)間上．

下面證明．

由上面步驟知有兩個(gè)零點(diǎn)，一個(gè)是，另一個(gè)在區(qū)間上．

不妨設(shè)，則，下面證明即可．

令，對(duì)之求導(dǎo)得，

故（a）在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，，即．

證明完畢．