Question

15．已知某棱錐的三視圖如圖所示，俯視圖為正方形，根據(jù)圖中所給的數(shù)據(jù)，那么該棱錐外接球的體積是$\frac{8\sqrt{2}}{3}$π．

Answer 1

分析 由該棱錐的三視圖判斷出該棱錐的幾何特征，以及相關幾何量的數(shù)據(jù)，再求出該棱錐外接球的半徑和體積．

解答 解：由該棱錐的三視圖可知，該棱錐是以邊長為$\sqrt{2}$的正方形為底面，
高為2的四棱錐，做出其直觀圖所示：
則PA=2，AC=2，PC=2$\sqrt{2}$，PA⊥面ABCD，
所以PC即為該棱錐的外接球的直徑，則R=$\sqrt{2}$，
即該棱錐外接球的體積V=$\frac{4}{3}π•（\sqrt{2}）^{3}$=$\frac{8\sqrt{2}}{3}π$，
故答案為：$\frac{8\sqrt{2}}{3}π$．

點評 本題考查了由三視圖求幾何體的外接球的體積，解題的關鍵是根據(jù)三視圖判斷幾何體的結構特征及相關幾何量的數(shù)據(jù)．