Question

2．已知函數(shù)g（x）=ax與h（x）=-lnx的圖象上存在關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （0，$\frac{2}{e}$）
• B． （$\frac{1}{e}$，+∞）
• C． （e，+∞）
• D． （-∞，$\frac{1}{e}$]

Answer 1

分析 若函數(shù)g（x）=ax與h（x）=-lnx的圖象上存在關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，則方程ax=lnx在x＞0上有解，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，即可求出a的范圍．

解答 解：若函數(shù)g（x）=ax與h（x）=-lnx的圖象上存在關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，
則方程ax=lnx在x＞0上有解，
∴a=$\frac{lnx}{x}$，
令f（x）=$\frac{lnx}{x}$，
∴f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
當(dāng)f′（x）＜0時(shí)，解得x＞e，函數(shù)f（x）在（e，+∞）上單調(diào)遞減，
當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，解得0＜x＜e，函數(shù)f（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，
∴f（x）_max=f（e）=$\frac{1}{e}$，
∴a≤$\frac{1}{e}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了構(gòu)造函數(shù)法求方程的解及參數(shù)范圍；關(guān)鍵是將已知轉(zhuǎn)化為方程方程ax=lnx在x＞0上有解．