Question

【題目】已知拋物線C：y2=2x的焦點為F，平行于x軸的兩條直線l1 ， l2分別交C于A，B兩點，交C的準線于P，Q兩點．
（1）若F在線段AB上，R是PQ的中點，證明AR∥FQ；
（2）若△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍，求AB中點的軌跡方程．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：連接RF，PF，

由AP=AF，BQ=BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=180°，

∴∠PFQ=90°，

∵R是PQ的中點，

∴RF=RP=RQ，

∴△PAR≌△FAR，

∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA，

∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR，

∴∠FQB=∠PAR，

∴∠PRA=∠PRF，

∴AR∥FQ

（2）

A（x1，y1），B（x2，y2），

F（ ，0），準線為 x=﹣ ，

S△PQF= |PQ|= |y1﹣y2|，

設直線AB與x軸交點為N，

∴S△ABF= |FN||y1﹣y2|，

∵△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍，

∴2|FN|=1，∴xN=1，即N（1，0）．

設AB中點為M（x，y），由 得 =2（x1﹣x2），

又 = ，

∴ = ，即y2=x﹣1．

∴AB中點軌跡方程為y2=x﹣1．

【解析】（1）連接RF，PF，利用等角的余角相等，證明∠PRA=∠PRF，即可證明AR∥FQ；（2）利用△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍，求出N的坐標，利用點差法求AB中點的軌跡方程．本題考查拋物線的方程與性質，考查軌跡方程，考查學生的計算能力，屬于中檔題．