Question

15．已知函數(shù)f（x）=x²+mx+$\frac{mx+1}{{x}^{2}}$+n（m，n∈R）有零點(diǎn)，則m²+n²的取值范圍是[$\frac{4}{5}$，+∞）．

Answer 1

分析 令t=x+$\frac{1}{x}$，得出關(guān)于t的方程t²+mt+n-2=0在（-∞，-2]∪[2，+∞）上有解，根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理列不等式，作出平面區(qū)域，根據(jù)m²+n²的幾何意義解出．

解答 解：f（x）=x²+mx+$\frac{mx+1}{{x}^{2}}$+n=${x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}+m（x+\frac{1}{x}）+n$=$（x+\frac{1}{x}）^{2}+m（x+\frac{1}{x}）+n-2$．
令x+$\frac{1}{x}$=t，當(dāng)x＞0時(shí)，t≥2；當(dāng)x＜0時(shí)，t≤-2．
∵函數(shù)f（x）在定義域上有零點(diǎn)，∴方程t²+mt+n-2=0在（-∞，-2]∪[2，+∞）上有解，
∴2-2m+n≤0或2+2m+n≤0，
作出平面區(qū)域如圖所示：

由圖形可知平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的最短距離d=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
∴m²+n²≥$\frac{4}{5}$．
故答案為：[$\frac{4}{5}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了零點(diǎn)的存在性定理，線性規(guī)劃的應(yīng)用，屬于中檔題．