Question

已知函數(shù)f（x）=

a•2x-1

2x+1

是奇函數(shù)．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）判斷并證明f（x）的單調性；
（3）若對?x∈[0，1]，不等式f（x）≤t-x恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由奇函數(shù)的性質得f（0）=0，代入解析式求出a的值，再進行驗證；
（2）先判斷出函數(shù)的單調性，再由單調性定義證明：取值、作差、變形、判斷符號、下結論，變形一定要徹底；
（3）利用分離常數(shù)法，將條件轉化為“t≥f（x）+x對x∈[0，1]恒成立”，結合（2）判斷出f（x）+x的單調性，求出此函數(shù)的最大值，即可得t得取值范圍．

解答：（1）解：∵f（x）是奇函數(shù)
∴f（0）=0，即

a-1

3

=0
∴a=1----------------------（3分）
經檢驗：a=1時f（x）=

2x-1

2x+1

是奇函數(shù)，滿足題意．--------（4分）
（2）f（x）是單調增函數(shù)
證明：任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=

2x1-1

2x1+1

-

2x2-1

2x2+1

=

(2x1-1)(2x2+1)-(2x2-1)(2x1+1)

(2x1+1)(2x2+1)

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

----------------------（7分）
∵x₁，x₂∈（-∞，+∞），x₁＜x₂
∴2x1-2x2＜0，
則f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x）在（-∞，+∞）上是單調增函數(shù)．----------------------（10分）
（3）由題意分離t得：t≥f（x）+x對x∈[0，1]恒成立----------------------（12分）
由（2）知函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上是單調增函數(shù)
∴f（x）+x在[0，1]上是單調增函數(shù)
∴f（x）+x在[0，1]上的最大值為f（1）+1=

4

3

----------------------（14分）
∴t≥

4

3

，即所求實數(shù)a的取值范圍為[

4

3

，+∞）．----------------------（16分）

點評：本題考查了奇函數(shù)的性質應用，函數(shù)單調性的證明過程，及恒成立問題的轉化等，考查了轉化思想和分離常數(shù)法．