Question

9．若全集U=R，函數(shù)y=$\sqrt{x-2}$+$\sqrt{x+1}$的定義域為A，函數(shù)y=log₂（-2x²+5x+3）的定義域為B．
（1）求集合（∁_UA）∩（∁_UB）；
（2）設函數(shù)g（x）=$\sqrt{-{x}^{2}+（a-1）x+a}$的定義域為集合C，若B∩C=B，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出集合A，B，即可求集合（∁_UA）∩（∁_UB）；
（2）求出集合C，由B∩C=B，可得B⊆C，即C=[-1，a]且a≥3，從而求實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{x-2≥0}\\{x+1≥0}\end{array}\right.$，可得x≥2，∴A={x|x≥2}  …（1分）
由-2x²+5x+3＞0，可得$B=\left\{{x\left|{-\frac{1}{2}＜x＜3}\right.}\right\}$…（3分）
C_UA={x|x＜2}，${C_U}B=\left\{{x\left|{x≤-\frac{1}{2}或x≥3}\right.}\right\}$，∴（C_UA）∩（C_UB）=$\left\{{x\left|{x≤-\frac{1}{2}}\right.}\right\}$…（6分）
（2）∵$g（x）=\sqrt{-{x^2}+（a-1）x+a}$，∴定義域C={x|-x²+（a-1）x+a≥0}…（7分）
由-x²+（a-1）x+a≥0，得x²-（a-1）x-a≤0，即（x-a）（x+1）≤0，…（9分）
∵B∩C=B，∴B⊆C，∴C=[-1，a]且a≥3．
∴實數(shù)a的取值范圍是a≥3．…（12分）

點評 本題考查函數(shù)的定義域，考查集合的關系與運算，考查學生的計算能力，屬于中檔題．