Question

20．某班甲、乙、丙三名同學競選班委，三人間是否當選相互獨立，甲當選的概率為$\frac{4}{5}$，乙當選的概率為$\frac{3}{5}$，丙當選的概率為$\frac{7}{10}$，求：
（1）恰有一名同學當選的概率；
（2）至多有兩人當選的概率．

Answer 1

分析 （1）利用相互獨立事件的概率乘法公式，所求的事件的概率與它的對立事件的概率之間的關系，求得恰有一名同學當選的慨率．
（2）解法一：求出沒有人當選的概率，恰有2人當選的概率，結合恰有一名同學當選的慨率的值，把這3個值相加，即得所求．
解法二：先求出三個人都當選的概率，再用1減去此概率，即得所求．

解答 解：（1）恰有一名同學當選的慨率為 $\frac{4}{5}$•（1-$\frac{3}{5}$）•（1-$\frac{7}{10}$）+（1-$\frac{4}{5}$）•$\frac{3}{5}$•（1-$\frac{7}{10}$）+（1-$\frac{4}{5}$）•（1-$\frac{3}{5}$）•$\frac{7}{10}$
=$\frac{24}{250}$+$\frac{9}{250}$+$\frac{14}{250}$=$\frac{47}{250}$．
（2）∵沒有人當選的概率為（1-$\frac{4}{5}$）•（1-$\frac{3}{5}$）•（1-$\frac{7}{10}$）=$\frac{6}{250}$，
恰有2人當選的概率為$\frac{4}{5}•\frac{3}{5}$•（1-$\frac{7}{10}$）+$\frac{4}{5}•\frac{7}{10}$•（1-$\frac{3}{5}$）+（1-$\frac{4}{5}$）•$\frac{3}{5}•\frac{7}{10}$=$\frac{36}{250}$+$\frac{56}{250}$+$\frac{21}{250}$=$\frac{113}{250}$，
故至多有兩人當選的概率為 $\frac{6}{250}$+$\frac{47}{250}$+$\frac{113}{250}$=$\frac{166}{250}$=$\frac{83}{125}$．
解法二：由于三個人都當選的概率為$\frac{4}{5}•\frac{3}{5}•\frac{7}{10}$=$\frac{84}{250}$=$\frac{42}{125}$，
故至多有兩人當選的概率為 1-$\frac{42}{125}$=$\frac{83}{125}$．

點評 本題主要考查相互獨立事件的概率乘法公式，互斥事件的概率加法公式，所求的事件的概率與它的對立事件的概率之間的關系，屬于基礎題．