Question

4．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左右頂點分別為A、B，它的右焦點是F（1，0）．橢圓上一動點P（x₀，y₀）（不是頂點）滿足${k_{PA}}•{k_{PB}}=-\frac{1}{2}$．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)過點P且與橢圓相切的直線為m，直線m與橢圓的右準(zhǔn)線l交于點Q，試證明∠PFQ為定值．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：根據(jù)直線的斜率公式求得$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，c=1，則a²-b²=1，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（2）設(shè)直線l的方程，代入橢圓方程，由△=0，求得k和t的關(guān)系，代入求得P點坐標(biāo)，則橢圓的準(zhǔn)線方程，求得Q點坐標(biāo)，即可求得$\overrightarrow{FQ}$•$\overrightarrow{FP}$=0，則∠PFQ為定值．

解答 解：（1）由P（x₀，y₀），則y₀²=$\frac{{^{2}（a}^{2}-{x}_{0}^{2}）}{{a}^{2}}$
k_PA•k_PB=$\frac{{y}_{0}-0}{{x}_{0}+a}$•$\frac{{y}_{0}-0}{{x}_{0}-a}$=$\frac{{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-{a}^{2}}$=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，
則${k_{PA}}•{k_{PB}}=-\frac{1}{2}$．則$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，①
由c=1，則a²-b²=1，②
解得：a²=2，b²=1，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）證明：設(shè)直線PQ的方程，y=kx+t，
則$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+t}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+2k²）x²+4ktx+2t²-2=0，
則△=（4kt）²-4（1+2k²）（2t²-2）=0，解得：t²=1+2k²，即t=±$\sqrt{1+2{k}^{2}}$，
∴（1+2k²）x²+4k$\sqrt{1+2{k}^{2}}$x+4k²=0，
解得：x=$\frac{-2k\sqrt{1+2{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$，
將x=$\frac{-2k\sqrt{1+2{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$，代入橢圓方程，解得：y=±$\frac{\sqrt{1+2{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$，
則P（$\frac{-2k\sqrt{1+2{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$，$\frac{\sqrt{1+2{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$），或P（$\frac{-2k\sqrt{1+2{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$，-$\frac{\sqrt{1+2{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$），
橢圓的準(zhǔn)線方程x=$\frac{{a}^{2}}{c}$=2，
將x=2代入y=kx+t，y=2k+$\sqrt{1+2{k}^{2}}$，即Q（2，2k+$\sqrt{1+2{k}^{2}}$），
F（1，0），P（$\frac{-2k\sqrt{1+2{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$，$\frac{\sqrt{1+2{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$），Q（2，2k+$\sqrt{1+2{k}^{2}}$），
∴$\overrightarrow{FQ}$=（1，2k+$\sqrt{1+2{k}^{2}}$），$\overrightarrow{FP}$=（$\frac{-2k\sqrt{1+2{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$-1，$\frac{\sqrt{1+2{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$），
則$\overrightarrow{FQ}$•$\overrightarrow{FP}$=（$\frac{-2k\sqrt{1+2{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$-1）（2k+$\sqrt{1+2{k}^{2}}$）×$\frac{\sqrt{1+2{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$=0，
同理：將x=2代入y=kx-t，y=2k-$\sqrt{1+2{k}^{2}}$，即Q（2，2k-$\sqrt{1+2{k}^{2}}$），
∴P（$\frac{-2k\sqrt{1+2{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$，-$\frac{\sqrt{1+2{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$），Q（2，2k-$\sqrt{1+2{k}^{2}}$），F(xiàn)（1，0），$\overrightarrow{FQ}$•$\overrightarrow{FP}$=0，
即$\overrightarrow{FQ}$⊥$\overrightarrow{FP}$，
綜上可知：$\overrightarrow{FQ}$•$\overrightarrow{FP}$=0，$\overrightarrow{FQ}$⊥$\overrightarrow{FP}$，
∴∠PFQ=90°為定值．

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理，直線的斜率公式，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，屬于中檔題．