Question

16．已知圓C經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P（-1，-3），Q（2，6），且圓心在直線x+2y-4=0上，直線l的方程為（k-1）x+2y+5-2k=0．
（1）求圓C的方程；
（2）求直線l被圓C截得的最短弦長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由圓心在直線x+2y-4=0上，設(shè)圓心為（4-2b，b），利用圓上的點(diǎn)到圓心的距離相等可得a的值，可求圓方程．
（2）求出直線恒過(guò)的定點(diǎn)，直徑過(guò)定點(diǎn)與直線垂直時(shí)，此時(shí)的弦長(zhǎng)最短．即可求解．

解答 解：（1）由題意，圓心在直線x+2y-4=0上，設(shè)圓心為（4-2b，b），
∵圓C經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P（-1，-3），Q（2，6），
∴r=$\sqrt{（5-2b）^{2}+（b+3）^{2}}$=$\sqrt{（2-2b）^{2}+（b-6）^{2}}$
解得：b=1，r=5，
即圓心為（2，1）
∴圓C的方程為（x-2）²+（y-1）²=25．
（2）直線l的方程為（k-1）x+2y+5-2k=0．化為點(diǎn)斜式y(tǒng)+$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$（1-k）（x-2）
∴直線l恒過(guò)點(diǎn)（2，$\frac{3}{2}$）
圓心為（2，1），可得與直線l垂直的直線斜率不存在，即得直線l的斜率為0，
∴k-1=0，可得k=1．
直線l的方程為2y+3=0．
則圓心到直線的距離d=2+$\frac{3}{2}$=$\frac{7}{2}$．
弦長(zhǎng)L=2$\sqrt{{r}^{2}-mtkulhr^{2}}$=$\sqrt{51}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的判斷，最短弦的問(wèn)題，直徑過(guò)定點(diǎn)與直線垂直時(shí)，此時(shí)的弦長(zhǎng)最短解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題