Question

11．已知直線l₁：x=-4和直線l₂：3x+4y+18=0，P是拋物線y²=16x上的點，P到l₁、l₂距離之和最小時，P到直線l₂的距離是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 求得焦點坐標(biāo)根據(jù)拋物線的定義可知：當(dāng)F，P，D三點共線時丨PF丨+丨PD丨最小，求得DF的方程，代入拋物線方程，求得P點坐標(biāo)，利用點到直線的距離公式即可求得P到直線l₂的距離．

解答 解：由拋物線y²=16x焦點為（4，0），
由拋物線的定義可知：丨PC丨=丨PF丨，
P到直線l₂的距離d為丨PD丨，
則丨PC丨+丨PD丨=丨PF丨+丨PD丨，
當(dāng)F，P，D三點共線時丨PF丨+丨PD丨最小，最小值為丨FD丨=$\frac{丨12+0+18丨}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=6，
直線DF的斜率為$\frac{4}{3}$，DF的方程為：y=$\frac{4}{3}$（x-4），
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{3}（x-4）}\\{{y}^{2}=16x}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=16}\\{y=16}\end{array}\right.$（舍去），
則P點坐標(biāo)為（1，-4），
P到直線l₂的距離d=$\frac{丨3×1+4×（-4）+18丨}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=1，
P到直線l₂的距離1，
故選A．

點評 本題考查拋物線的定義，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查點到直線的距離公式，考查計算能力，屬于中檔題．