Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱垂直于底面，M、N分別為棱BB₁，B₁C₁的中點(diǎn)，由M，N，A三點(diǎn)確定的平面將該三棱柱分成體積不相等的兩部分，則較小部分與較大部分的體積之比為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：延長(zhǎng)MN與CC₁的交點(diǎn)為P，與CB的交點(diǎn)為Q，連結(jié)AP交A₁C₁為D，連結(jié)DN，得到截面為DNMA，由題意得A₁D=2DC₁，由此能求出較小部分與較大部分的體積之比．

解答： 解：延長(zhǎng)MN與CC₁的交點(diǎn)為P，與CB的交點(diǎn)為Q，
連結(jié)AP交A₁C₁為D，連結(jié)DN，
得到截面為DNMA，由題意得A₁D=2DC₁，
設(shè)三棱柱是直三棱柱，底面AB⊥BC，且設(shè)AB=BC=AA₁=2，
∵QB=1，MB=1，NC=1，PC₁=1，棱柱體積V=

1

2

×2×2×2=4，
∴下部分體積V_下=V_P-AQC-VP-DNC1-V_M-AQB
=

1

3

×

1

2

×3×2×3-

1

3

×

1

2

×1×2-

1

3

×

1

2

×1×

2

3

×1
=

23

9

，
上部分體積V_上=V-V_下=4-

23

9

=

13

9

，
∴較小部分與較大部分的體積之比為：

V上

V下

=

13 9

23 9

=

13

23

．
故答案為：

13

23

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查幾何體中兩部分體積之比的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．